Привести к каноническому виду уравнения кривых второго порядка

Найти:

1) оси, вершины, фокусы, эксцентриситет для эллипса;

2) оси, вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты для гиперболы;

3) фокус, директрису, вершину для параболы.

(x^2)-4x+(3y^2)-6y-9=0

Чтобы привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сгруппировать переменные x и y в отдельные члены уравнения.
2. Перенести свободный член в другую сторону.
3. Если коэффициенты при x^2 и y^2 различны, то выполнить дополнение квадрата, чтобы привести уравнение к стандартному виду.

Исходное уравнение: (x^2)-4x+(3y^2)-6y-9=0

1. (x^2)-4x + (3y^2)-6y = 9
2. (x^2)-4x+4 + (3y^2)-6y+9 = 9+4+9
3. (x-2)^2 + 3(y-1)^2 = 22

Таким образом, канонический вид данной кривой - это эллипс с центром в точке (2,1).

1. Оси эллипса проходят через его центр и перпендикулярны друг другу. Для данного эллипса оси проходят через точку (2,1) и имеют длины 2sqrt(22) и 2sqrt(6), соответственно.
Вершины эллипса находятся на пересечении его осей и касаются его окружности, вписанной в него. Для данного эллипса вершины находятся в точках (2+sqrt(22),1) и (2-sqrt(22),1).
Фокусы эллипса находятся на оси, лежащей вдоль большой оси эллипса, и отстоят от центра на расстояние, равное sqrt(a^2-b^2), где a и b - полуоси эллипса. Для данного эллипса фокусы находятся в точках (2+sqrt(10),1) и (2-sqrt(10),1).
Эксцентриситет эллипса определяется как e=sqrt(1-b^2/a^2), где a и b - полуоси эллипса. Для данного эллипса эксцентриситет равен sqrt(16/22) = 2sqrt(2/11).

2. Оси гиперболы проходят через ее центр и перпендикулярны друг другу. Для данной гиперболы оси проходят через точку (2,1) и имеют длины 2sqrt(22) и 2sqrt(6), соответственно.
Вершины гиперболы находятся на пересечении ее осей и лежат на бесконечности.
Фокусы гиперболы находятся на оси, лежащей вдоль большой оси гиперболы, и отстоят от центра на расстояние, равное sqrt(a^2+b^2), где a и b - полуоси гиперболы. Для данной гиперболы фокусы находятся в точках (2+sqrt(34),1) и (2-sqrt(34),1).
Эксцентриситет гиперболы определяется как e=sqrt(1+b^2/a^2), где a и b - полуоси гиперболы. Для данной гиперболы эксцентриситет равен sqrt(28/22) = sqrt(14/11).
Асимптоты гиперболы задаются уравнениями y = +/- (b/a)x, где a и b - полуоси гиперболы. Для данной гиперболы асимптоты имеют уравнения y = +/- (sqrt(2/11)/sqrt(11/6))x + 1.

3. Для параболы уравнение в каноническом виде имеет вид y^2 = 4px, где p - фокальный параметр.
Исходное уравнение: (x^2)-4x+(3y^2)-6y-9=0
(x^2)-4x+4 + (3y^2)-6y+9 = 9+4
(x-2)^2 = -3(y-1)^2 + 16
(y-1)^2 = -3/16(x-2)^2 + 1
Таким образом, парабола имеет фокус в точке (2,1), директрису y = 1-4/3 и вершину в точке (2,1/4).