Ко дну цилиндрического сосуда на пружине прикреплен невесомый поршень, из-под которого откачан воздух. Диаметр дна сосуда равен 8 см. В сосуд заливают столб керосина высотой Н. (Рис. 8.з) Сила, действующая на пружину равна 510 Н. Найти высоту Н. Ответ выразить в см. округлив до десятых. Плотность керосина 800 кг/м, атмосферное давление 100 кПа, ускорение свободного падения принять 10 м / 3 , трением между стенками и поршнем пренебречь.

Для решения задачи нужно использовать закон Архимеда и закон сохранения энергии.

Закон Архимеда гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной жидкости.

По закону сохранения энергии, потенциальная энергия системы должна быть равна работе, совершенной над системой.

Потенциальная энергия системы в данном случае равна потенциальной энергии пружины, которая вычисляется по формуле:

E = (1/2)kx^2,

где k - коэффициент жесткости пружины, x - смещение поршня от положения равновесия.

Так как пружина находится в положении равновесия, то потенциальная энергия равна нулю.

Работа, совершенная над системой, равна работе, которую совершает сила Архимеда при подъеме поршня на высоту Н.

Работа силы Архимеда равна произведению силы и перемещения:

A = Fh,

где F - сила Архимеда, h - высота подъема поршня.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости:

F = ρVg,

где ρ - плотность жидкости, V - объем вытесненной жидкости, g - ускорение свободного падения.

Объем вытесненной жидкости равен объему цилиндра, который вычисляется по формуле:

V = πr^2h,

где r - радиус дна сосуда.

Таким образом, работа силы Архимеда будет равна:

A = ρπr^2hg.

Согласно закону сохранения энергии, работа силы Архимеда должна быть равна потенциальной энергии пружины:

A = (1/2)kx^2.

Выразим x из этого уравнения:

x = √(2A/k).

Подставим выражение для работы силы Архимеда и выразим высоту h:

h = A/(ρπr^2g) = ((1/2)kx^2)/(ρπr^2g) = ((1/2)k(√(2A/k))^2)/(ρπr^2g) = A/(2ρπr^2g).

Подставим известные значения:

r = 4 см = 0,04 м,

k = 510 Н/м,

ρ = 800 кг/м^3,

g = 10 м/с^2.

Вычислим площадь дна сосуда:

S = πr^2 = 3,14 * 0,04^2 = 0,005 га.

Вычислим работу силы Архимеда:

A = Fh = ρVg * h = ρShg * h = 800 * 0,005 * 10 * h = 40h.

Следовательно, высота Н равна:

h = A/(2ρπr^2g) = 40h/(2 * 800 * 3,14 * 0,04^2 * 10) ≈ 15,95 см.

Ответ: высота Н равна примерно 15,95 см (округляем до десятых).