3. Напряженность и потенциал поля объемного заряда. Теорема Остроградского- Гаусса.

На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями s₁ и s₂ (см. рис.). Требуется: 1)используя теорему Остроградского- Гаусса, найти зависимость Е(r) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: I, II, III. Принять s₁=-4s, s₂=s; 2) вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направление вектора Е. Принять s=50нКл/м², r=1,5R; 3)построить график Е(r). 

1) Теорема Остроградского-Гаусса гласит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную.

Для области I (r < R) можно выбрать сферу радиусом r, для области II (R < r < 2R) - сферу радиусом R, а для области III (r > 2R) - сферу радиусом 2R.

Для области I:

Поток вектора напряженности электрического поля через сферу радиусом r равен E(r) * 4πr^2, а заряд, заключенный внутри этой сферы, равен объему сферы, умноженному на поверхностную плотность заряда:

Q1 = (4/3)πr^3 * (-4s)

Для области II:

Поток вектора напряженности электрического поля через сферу радиусом R равен E(R) * 4πR^2, а заряд, заключенный внутри этой сферы, равен разности зарядов, заключенных внутри двух концентрических сфер:

Q2 = (4/3)πR^3 * s - (4/3)πR^3 * (-4s) = (4/3)πR^3 * 5s

Для области III:

Поток вектора напряженности электрического поля через сферу радиусом 2R равен E(2R) * 4π(2R)^2, а заряд, заключенный внутри этой сферы, равен объему сферы, умноженному на поверхностную плотность заряда:

Q3 = (4/3)π(2R)^3 * s

Используя теорему Остроградского-Гаусса, получаем:

для области I: E(r) * 4πr^2 = (-4/3)πr^3 * 4s / ε0

E(r) = -4sr / (3ε0)

для области II: E(R) * 4πR^2 = (4/3)πR^3 * 5s / ε0

E(R) = 5sR / (3ε0)

для области III: E(2R) * 4π(2R)^2 = (4/3)π(2R)^3 * s / ε0

E(2R) = sR^2 / (3ε0)

2) Подставляя данные: s = 50 нКл/м^2, r = 1,5R, получаем:

для области I: E(1,5R) = -4 * 50 * 1,5R / (3ε0) = -100R / ε0

для области II: E(R) = 5 * 50 * R / (3ε0) = 250R / ε0

для области III: E(2R) = 50 * R^2 / (3ε0)

Таким образом, напряженность в точке, удаленной от центра на расстояние 1,5R, равна -100R / ε0. Направление вектора Е определяется по правилу Лапласа: в области I - направлено к центру, в области II - направлено от центра, в области III - направлено к центру.

3) График Е(r) будет иметь разрывы в точках r = R и r = 2R, так как в этих точках меняется область, в которой находится точка.

Если обозначить ε0 = 1, то получим:

для области I: E(r) = -4r/3

для области II: E(r) = 5/3

для области III: E(r) = r^2/3

График будет выглядеть следующим образом: