1. Сила Ампера.

Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи I=1 кА. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине.

Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа для элемента провода и рамки:

dF = (μ₀/4π) * I1 * I2 * (dl x dr) / r^2

где dF - сила, действующая на элемент провода или рамки;
μ₀ - магнитная постоянная;
I1 и I2 - токи, текущие в элементе провода и рамке соответственно;
dl и dr - элементы длины и расстояния между элементами;
r - расстояние между элементами.

Так как токи в рамке и проводе одинаковые, то можно записать:

dF = (μ₀/4π) * I^2 * (dl x dr) / r^2

Суммируем силы на все элементы рамки, получаем:

F = ∫dF = (μ₀/4π) * I^2 * L * ∫(dl x dr) / r^2

где L - длина рамки.

Расстояние между элементами dl и dr можно записать через угол между ними:

dl x dr = L * sin(α) * dr

где α - угол между элементами рамки.

Интеграл ∫(dl x dr) / r^2 можно вычислить, заменив его на ∫sin(α) / r * dr по переменной r.

Таким образом, получаем:

F = (μ₀/4π) * I^2 * L * ∫sin(α) / r * dr

Расстояние r между элементами равно:

r = √(L^2 + d^2 - 2Ld*cos(α))

где d - расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки.

Интеграл ∫sin(α) / r * dr можно вычислить, заменив переменную r на u = L - d*cos(α), тогда:

F = (μ₀/4π) * I^2 * L * ∫sin(α) / (L^2 + d^2 - 2Ld*cos(α))^(3/2) * (L - d*cos(α)) * dα

Данный интеграл можно решить численно, используя методы численного интегрирования.