На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями s₁ и s₂ (см. рис.). Требуется: 1)используя теорему Остроградского- Гаусса, найти зависимость Е(r) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: I, II, III. Принять s₁=-3s, s₂=6s; 2)вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направление вектора Е. Принять s=0,3мкКл/м², r=3R; 3)построить график Е(r). 


1) По теореме Остроградского-Гаусса, полный поток электрического поля через замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри поверхности, разделенному на электрическую постоянную. Таким образом, для каждой области можно записать:

I. Внутри сферы радиуса R:
Поток через поверхность равен Q1 = -4πR^2s1 (отрицательный, так как заряд внутри сферы отрицательный).
По теореме Остроградского-Гаусса, поток через поверхность равен E*4πR^2, где E - напряженность электрического поля внутри сферы.
Таким образом, E*4πR^2 = -4πR^2s1, откуда E = -s1/ε.

II. Между сферами радиусов R и 2R:
Поток через поверхность равен Q1 + Q2 = -4πR^2s1 + 4πR^2s2 = 4πR^2(s2 - s1).
По теореме Остроградского-Гаусса, поток через поверхность равен E*4πR^2, где E - напряженность электрического поля между сферами.
Таким образом, E*4πR^2 = 4πR^2(s2 - s1), откуда E = (s2 - s1)/ε.

III. Вне сферы радиуса 2R:
Поток через поверхность равен Q2 = 4πR^2s2.
По теореме Остроградского-Гаусса, поток через поверхность равен E*4πr^2, где E - напряженность электрического поля вне сферы.
Таким образом, E*4πr^2 = 4πR^2s2, откуда E = s2/(4πεr^2).

2) Подставим значения s=0,3мкКл/м2 и r=3R в формулу для напряженности электрического поля вне сферы:
E = s2/(4πεr^2) = (6*0,3*10^-6 Кл/м^2)/(4π*8,85*10^-12*27R^2 м^2) = 2,14*10^4 В/м.
Направление вектора E - от положительно заряженной сферы к отрицательно заряженной.

3) График напряженности электрического поля Е(r) будет иметь вид: