В прямоугольном парралепипеде ABCDA1.B1.C1.D1 AA1=5 CD=3 BC=√2

Найдите DB1модно подробное решение с дано

Для решения этой задачи нам нужно использовать теорему Пифагора и знание о симметрии параллелепипеда.

Заметим, что параллелепипед ABCDA1.B1.C1.D1 имеет две пары параллельных граней: ABCD и A1B1C1D1, которые симметричны относительно плоскости, проходящей через середину ребра AA1.

Таким образом, мы можем рассмотреть треугольник A1DB1, который является прямоугольным, так как его стороны DB1 и A1D1 перпендикулярны (поскольку они принадлежат разным граням параллелепипеда).

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, мы получаем:

DB1² = A1D1² + A1B1²

Теперь нам нужно найти длины сторон A1D1 и A1B1. Заметим, что треугольник A1BC прямоугольный, так как угол BAC прямой (поскольку он лежит на грани ABCD, которая перпендикулярна грани A1B1C1D1).

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, мы получаем:

AC² = AB² + BC²

Заметим, что AC = AA1 + A1C1 = 5 + 3 = 8, AB = AA1 + A1B1 и BC = A1B1√2 (поскольку грани ABCD и A1B1C1D1 параллельны).

Таким образом, мы можем записать:

8² = (AA1 + A1B1)² + A1B1²

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

64 = 2AA1² + 3A1B1²

Теперь нам нужно найти A1B1². Заметим, что треугольник A1B1C1 прямоугольный, так как угол A1B1C1 прямой (поскольку он лежит на грани A1B1C1D1, которая перпендикулярна грани ABCD).

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, мы получаем:

A1B1² = A1C1² + C1B1²

Заметим, что A1C1 = AA1 + AC = 5 + 3 = 8, а C1B1 = BC = A1B1√2. Таким образом, мы можем записать:

A1B1² = 8² - (A1B1√2)²

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

A1B1² = 32

Теперь мы можем подставить значение A1B1² в наше первоначальное уравнение:

DB1² = A1D1² + A1B1²
DB1² = (AA1 - A1C1)² + 32
DB1² = (5 - 3)² + 32
DB1² = 26
DB1 = √26

Таким образом, ответ на задачу: DB1 = √26.