Решите неравенство

4⁵^х-1>16³^х+²

Для решения данного неравенства нужно использовать свойства степеней и логарифмов.

Сначала приведем обе части неравенства к одной основе:

4⁵^х-1 > 16³^х+²

(2²)⁵^х-1 > (2⁴)³^х+²

2²(5^х-1) > 2⁸·3^х+²

Упростим выражение, разделив обе части на 2²:

5^х-1 > 2⁶·3^х+²

Теперь возьмем логарифм от обеих частей неравенства по основанию 5:

log₅(5^х-1) > log₅(2⁶·3^х+²)

Применим свойство логарифма: logₐ(b^c) = c·logₐ(b)

log₅(5^х-1) > log₅(2⁶) + log₅(3^х+²)

log₅(5^х-1) > 6log₅(2) + (х+²)log₅(3)

Заменим log₅(2) и log₅(3) на числа:

log₅(5^х-1) > 6·0,69897 + (х+²)·1,46497

log₅(5^х-1) > 4,19382 + 1,46497х + 2,92994

log₅(5^х-1) > 6,12376 + 1,46497х

Теперь избавимся от логарифма, возведя обе части неравенства в степень 5:

5^(log₅(5^х-1)) > 5^(6,12376 + 1,46497х)

5^х-1 > 5^6,12376·5^1,46497х

5^х-1 > 156,25·5^х

Перенесем все слагаемые с х в левую часть и числа в правую:

5^х - 156,25·5^х > 1

(1 - 156,25)·5^х > 1

-155,25·5^х > 1

5^х < -1/155,25

Так как основание степени положительное число, то неравенство не имеет решений в действительных числах.

Ответ: неравенство не имеет решений в действительных числах.