Арифметическая иерархия с примерами.

Если соединить закрытую сигма1-формулу конъюнкцией с закрытой пи-1 формулой результат даст пи1-формулу, и верно ли обратное, что если соединить закрытую пи-1 формулу конъюнкцией с закрытой сигма1-формулой это даст в результате сигма1-формулу. То есть результат зависит от квантора вначале, если действие начинается с сигма1-формулы(неограниченного квантора существования), то результат конъюнкции наоборот будет пи1-формулой. А если действие начинается с п1-формулы(неограниченного квантора всеобщности), то результат конъюнкции будет наоборот сигма1-формулой? Верно? Жду ответа СПЕЦИАЛИСТОВ с примерами, спасибо.

Арифметическая иерархия представляет собой иерархическую классификацию формул в арифметике по уровню их сложности. В рамках данной иерархии существуют различные классы формул, такие как сигма1-формулы и пи1-формулы.

Сигма1-формулы представляют собой формулы, в которых используется неограниченный квантор существования (∃). Примером сигма1-формулы может быть формула "∃x(x + 1 = 0)", которая говорит о существовании такого числа x, для которого x + 1 = 0.

Пи1-формулы, в свою очередь, представляют собой формулы, в которых используется неограниченный квантор всеобщности (∀). Примером пи1-формулы может быть формула "∀x(x + 1 = 0)", которая говорит о том, что для любого числа x выполняется условие x + 1 = 0.

Ответя на ваш вопрос, если соединить закрытую сигма1-формулу конъюнкцией (логическим "и") с закрытой пи1-формулой, результат будет пи1-формулой. Например, если у нас есть сигма1-формула "∃x(x + 1 = 0)" и пи1-формула "∀y(y > 0)", то результатом их конъюнкции будет пи1-формула "∃x(x + 1 = 0) ∧ ∀y(y > 0)".

Обратное утверждение, что если соединить закрытую пи1-формулу конъюнкцией с закрытой сигма1-формулой, результат будет сигма1-формулой, не всегда верно. В общем случае, результат будет зависеть от конкретных формул.