Даны уравнение сторон треугольника

x-5y+6=0(AB)

4x-3y-10=0(BC)

7x-y+8=0(AC)

составить уравнение медианы AE

высоты AD биссектрисы AF

найти их длины

Уравнение медианы AE:
Медиана AE делит сторону BC пополам, поэтому координаты точки E можно найти как среднее арифметическое координат точек B и C.
B(5, 2)
C(-2, 14)
E = ((5 - 2) / 2, (2 + 14) / 2)
E = (3/2, 8)

Уравнение медианы AE проходит через точку A(6, 5) и точку E(3/2, 8). Используя формулу для уравнения прямой, получаем:
y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁)
y - 5 = (8 - 5) / (3/2 - 6) * (x - 6)
y - 5 = 3/(-9/2) * (x - 6)
y - 5 = -2/3 * (x - 6)
3y - 15 = -2x + 12
2x + 3y - 27 = 0

Уравнение высоты AD:
Высота AD проходит через вершину треугольника A(6, 5) и перпендикулярна стороне BC, поэтому её угловой коэффициент будет обратным и противоположным угловому коэффициенту стороны BC.
Угловой коэффициент стороны BC: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (14 - 2) / (-2 - 4) = 12 / -6 = -2
Угловой коэффициент высоты AD: m' = 1 / m = 1 / -2 = -1/2

Используя формулу для уравнения прямой, получаем:
y - y₁ = m' * (x - x₁)
y - 5 = -1/2 * (x - 6)
2y - 10 = -x + 6
x + 2y - 16 = 0

Уравнение биссектрисы AF:
Биссектриса AF делит угол BAC пополам и проходит через вершину A(6, 5). Чтобы найти точку пересечения биссектрисы с стороной BC, нужно найти координаты точки F. Для этого используем формулу пересечения двух прямых:
x = (b₂c₁ - b₁c₂) / (a₁b₂ - a₂b₁)
y = (a₁c₂ - a₂c₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)

A(6, 5)
B(5, 2)
C(-2, 14)

a₁ = 5 - 6 = -1
b₁ = 2 - 5 = -3
c₁ = -3 * 6 + 2 * 5 = -18 + 10 = -8

a₂ = -2 - 5 = -7
b₂ = 14 - 2 = 12
c₂ = 12 * (-2) - 14 * (-3) = -24 + 42 = 18

x = (-8 * 12 - (-3) * 18) / ((-1) * 12 - (-7) * (-3))
x = (-96 + 54) / (-12 + 21)
x = -42 / 9
x = -14/3

y = ((-1) * 18 - (-7) * (-8)) / ((-1) * 12 - (-7) * (-3))
y = (-18 + 56) / (-12 + 21)
y = 38 / 9

F(-14/3, 38/9)

Уравнение биссектрисы AF проходит через точку A(6, 5) и точку F(-14/3, 38/9). Используя формулу для уравнения прямой, получаем:
y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁)
y - 5 = ((38/9) - 5) / ((-14/3) - 6) * (x - 6)
y - 5 = (-7/9) / (-32/3) * (x - 6)
y - 5 = 7/32 * (x - 6)
32y - 160 = 7x - 42
7x - 32y + 118 = 0

Длина медианы AE:
Длина медианы AE равна половине длины стороны BC. Для этого найдём длину стороны BC, используя формулу расстояния между двумя точками:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
d = √((-2 - 5)² + (14 - 2)²)
d = √((-7)² + 12²)
d = √(49 + 144)
d = √193

Длина медианы AE = √193 / 2

Длина высоты AD:
Длина высоты AD равна расстоянию от вершины A до прямой BC. Для этого используем формулу расстояния от точки до прямой:
d = |a₁x + b₁y + c₁| / √(a₁² + b₁²)
d = |(-1) * 5 + (-3) * 2 + (-8)| / √((-1)² + (-3)²)
d = |-5 - 6 - 8| / √(1 + 9)
d = |-19| / √10
d = 19 / √10

Длина высоты AD = 19 / √10

Длина биссектрисы AF:
Длина биссектрисы AF равна расстоянию от вершины A до прямой BC. Для этого используем формулу расстояния от точки до прямой:
d = |a₂x + b₂y + c₂| / √(a₂² + b₂²)
d = |-7 * 6 + 12 * 5 + 18| / √((-7)² + 12²)
d = |-42 + 60 + 18| / √(49 + 144)
d = |36| / √193
d = 36 / √193

Длина биссектрисы AF = 36 / √193