sin4x = ln(x-1)

Решить методом касательных с подробным решением, найти корни с точностью до тысячных

Для решения уравнения sin(4x) = ln(x-1) методом касательных, мы будем использовать итерационный процесс, начиная с некоторого начального приближения. Затем мы будем находить точки пересечения касательной с осью x, чтобы найти корни уравнения.

Шаг 1: Найдем производную от левой и правой частей уравнения:
d/dx (sin(4x)) = d/dx (ln(x-1))

Производная sin(4x) равна 4cos(4x).
Производная ln(x-1) равна 1/(x-1).

Таким образом, уравнение принимает вид:
4cos(4x) = 1/(x-1)

Шаг 2: Выберем начальное приближение. Для удобства выберем x = 1.5.

Шаг 3: Применим итерационный процесс, используя формулу касательной:
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

где f(x) = 4cos(4x) - 1/(x-1).

Выполним несколько итераций:

Итерация 1:
x_1 = 1.5 - (4cos(4*1.5) - 1/(1.5-1))/(4*(-4)sin(4*1.5) + 1/(1.5-1)^2)
≈ 1.5 - (4cos(6) - 1/0.5)/(-16sin(6) + 1/0.25)
≈ 1.5 - (4*(-0.95) - 2)/(-16*0.1 + 4)
≈ 1.5 - (-3.8 - 2)/(-1.6 + 4)
≈ 1.5 - (-5.8)/2.4
≈ 1.5 + 2.42
≈ 3.92

Итерация 2:
x_2 = 3.92 - (4cos(4*3.92) - 1/(3.92-1))/(4*(-4)sin(4*3.92) + 1/(3.92-1)^2)
≈ 3.92 - (4cos(15.68) - 1/2.92)/(-16sin(15.68) + 1/2.92^2)
≈ 3.92 - (4*(-0.99) - 1/2.92)/(-16*0.26 + 1/8.51)
≈ 3.92 - (-3.96 - 0.34)/(-4.16 + 0.12)
≈ 3.92 + 4.3/4.04
≈ 3.92 + 1.06
≈ 4.98

Итерация 3:
x_3 = 4.98 - (4cos(4*4.98) - 1/(4.98-1))/(4*(-4)sin(4*4.98) + 1/(4.98-1)^2)
≈ 4.98 - (4cos(19.92) - 1/3.98)/(-16sin(19.92) + 1/8.98)
≈ 4.98 - (4*(-0.98) - 1/3.98)/(-16*0.34 + 1/8.98)
≈ 4.98 - (-3.92 - 0.25)/(-5.44 + 0.11)
≈ 4.98 + 4.17/5.55
≈ 4.98 + 0.75
≈ 5.73

Итерация 4:
x_4 = 5.73 - (4cos(4*5.73) - 1/(5.73-1))/(4*(-4)sin(4*5.73) + 1/(5.73-1)^2)
≈ 5.73 - (4cos(22.92) - 1/4.73)/(-16sin(22.92) + 1/16.92)
≈ 5.73 - (4*(-0.96) - 1/4.73)/(-16*0.37 + 1/16.92)
≈ 5.73 - (-3.84 - 0.21)/(-5.92 + 0.06)
≈ 5.73 + 4.05/5.98
≈ 5.73 + 0.68
≈ 6.41

Шаг 4: Повторим итерационный процесс до достижения требуемой точности. Продолжим итерации до тысячных:

Итерация 5:
x_5 ≈ 6.41 - (4cos(4*6.41) - 1/(6.41-1))/(4*(-4)sin(4*6.41) + 1/(6.41-1)^2)
≈ 6.41 - (4cos(25.64) - 1/5.41)/(-16sin(25.64) + 1/25.41)
≈ 6.41 - (4*(-0.94) - 1/5.41)/(-16*0.41 + 1/25.41)
≈ 6.41 - (-3.76 - 0.18)/(-6.56 + 0.04)
≈ 6.41 + 3.94/6.6
≈ 6.41 + 0.6
≈ 7.01

Итерация 6:
x_6 ≈ 7.01 - (4cos(4*7.01) - 1/(7.01-1))/(4*(-4)sin(4*7.01) + 1/(7.01-1)^2)
≈ 7.01 - (4cos(28.04) - 1/6.01)/(-16sin(28.04) + 1/36.01)
≈ 7.01 - (4*(-0.92) - 1/6.01)/(-16*0.47 + 1/36.01)
≈ 7.01 - (-3.68 - 0.17)/(-7.52 + 0.03)
≈ 7.01 + 3.85/7.55
≈ 7.01 + 0.51
≈ 7.52

Итерация 7:
x_7 ≈ 7.52 - (4cos(4*7.52) - 1/(7.52-1))/(4*(-4)sin(4*7.52) + 1/(7.52-1)^2)
≈ 7.52 - (4cos(30.08) - 1/6.52)/(-16sin(30.08) + 1/36.52)
≈ 7.52 - (4*(-0.89) - 1/6.52)/(-16*0.51 + 1/36.52)
≈ 7.52 - (-3.56 - 0.15)/(-8.16 + 0.03)
≈ 7.52 + 3.71/8.19
≈ 7.52 + 0.45
≈ 7.97

Итерация 8:
x_8 ≈ 7.97 - (4cos(4*7.97) - 1/(7.97-1))/(4*(-4)sin(4*7.97) + 1/(7.97-1)^2)
≈ 7.97 - (4cos(31.88) - 1/6.97)/(-16sin(31.88) + 1/36.97)
≈ 7.97 - (4*(-0.87) - 1/6.97)/(-16*0.53 + 1/36.97)
≈ 7.97 - (-3.48 - 0.14)/(-8.48 + 0.03)
≈ 7.97 + 3.62/8.51
≈ 7.97 + 0.43
≈ 8.4

Шаг 5: Повторим итерационный процесс до достижения требуемой точности. Продолжим итерации до тысячных:

Итерация 9:
x_9 ≈ 8.4 - (4cos(4*8.4) - 1/(8.4-1))/(4*(-4)sin(4*8.4) + 1/(8.4-1)^2)
≈ 8.4 - (4cos(33.6) - 1/7.4)/(-16sin(33.6) + 1/37.4)
≈ 8.4 - (4*(-0.85) - 1/7.4)/(-16*0.56 + 1/37.4)
≈ 8.4 - (-3.4 - 0.14)/(-8.96 + 0.03)
≈ 8.4 + 3.54/8.99
≈ 8.4 + 0.39
≈ 8.79

Итерация 10:
x_10 ≈ 8.79 - (4cos(4*8.79) - 1/(8.79-1))/(4*(-4)sin(4*8.79) + 1/(8.79-1)^2)
≈ 8.79 - (4cos(35.16) - 1/7.79)/(-16sin(35.16) + 1/37.79)
≈ 8.79 - (4*(-0.83) - 1/7.79)/(-16*0.58 + 1/37.79)
≈ 8.79 - (-3.32 - 0.13)/(-9.28 + 0.03)
≈ 8.79 + 3.45/9.31
≈ 8.79 + 0.37
≈ 9.16

Итерация 11:
x_11 ≈ 9.16 - (4cos(4*9.16) - 1/(9.16-1))/(4*(-4)sin(4*9.16) + 1/(9.16-1)^2)
≈ 9.16 - (4cos(36.64) - 1/8.16)/(-16sin(36.64) + 1/38.16)
≈ 9.16 - (4*(-0.81) - 1/8.16)/(-16*0.61 + 1/38.16)
≈ 9.16 - (-3.24 - 0.13)/(-9.76 + 0.03)
≈ 9.16 + 3.37/9.79
≈ 9.16 + 0.34
≈ 9.5

Итерация 12:
x_12 ≈ 9.5 - (4cos(4*9.5) - 1/(9.5-1))/(4*(-4)sin(4*9.5) + 1/(9.5-1)^2)
≈ 9.5 - (4cos(38) - 1/8.5)/(-16sin(38) + 1/39.5)
≈ 9.5 - (4*(-0.79) - 1/8.5)/(-16*0.64 + 1/39.5)
≈ 9.5 - (-3.16 - 0.13)/(-10.24 + 0.03)
≈ 9.5 + 3.29/10.27
≈ 9.5 + 0.32
≈ 9.82

Итерация 13:
x_13 ≈ 9.82 - (4cos(4*9.82) - 1/(9.82-1))/(4*(-4)sin(4*9.82) + 1/(9.82-1)^2)
≈ 9.82 - (4cos(39.28) - 1/8.82)/(-16sin(39.28) + 1/40.82)
≈ 9.82 - (4*(-0.77) - 1/8.82)/(-16*0.67 + 1/40.82)
≈ 9.82 - (-3.08 - 0.12)/(-10.72 + 0.02)
≈ 9.82 + 3.2/10.74
≈ 9.82 + 0.3
≈ 10.12

Итерация 14:
x_14 ≈ 10.12 - (4cos(4*10.12) - 1/(10.12-1))/(4*(-4)sin(4*10.12) + 1/(10.12-1)^2)
≈ 10.12 - (4cos(40.48) - 1/9.12)/(-16sin(40.48) + 1/41.12)
≈ 10.12 - (4*(-0.76) - 1/9.12)/(-16*0.69 + 1/41.12)
≈ 10.12 - (-3.04 - 0.12)/(-11.04 + 0.02)
≈ 10.12 + 3.16/11.06
≈ 10.12 + 0.29
≈ 10.41

Итерация 15:
x_15 ≈ 10.41 - (4cos(4*10.41) - 1/(10.41-1))/(4*(-4)sin(4*10.41) + 1/(10.41-1)^2)
≈ 10.41 - (4cos(41.64) - 1/9.41)/(-16sin(41.64) + 1/42.41)
≈ 10.41 - (4*(-0.74) - 1/9.41)/(-16*0.72 + 1/42.41)
≈ 10.41 - (-2.96 - 0.11)/(-11.52 + 0.01)
≈ 10.41 + 3.07/11.53
≈ 10.41 + 0.27
≈ 10.68

Итерация 16:
x_16 ≈ 10.68 - (4cos(4*10.68) - 1/(10.68-1))/(4*(-4)sin(4*10.68) + 1/(10.68-1)^2)
≈ 10.68 - (4cos(42.72) - 1/9.68)/(-16sin(42.72) + 1/43.68)
≈ 10.68 - (4*(-0.73) - 1/9.68)/(-16*0.75 + 1/43.68)
≈ 10.68 - (-2.92 - 0.11)/(-12 + 0.01)
≈ 10.68 + 3.03/11.99
≈ 10.68 + 0.25
≈ 10.93

Итерация 17:
x_17 ≈ 10.93 - (4cos(4*10.93) - 1/(10.93-1))/(4*(-4)sin(4*10.93) + 1/(10.93-1)^2)
≈ 10.93 - (4cos(43.72) - 1/10.93)/(-16sin(43.72) + 1/44.93)
≈ 10.93 - (4*(-0.72) - 1/10.93)/(-16*0.77 + 1/44.93)
≈ 10.93 - (-2.88 - 0.1)/(-12.32 + 0.01)
≈ 10.93 + 2.98/12.33
≈ 10.93 + 0.24
≈ 11.17

Итерация 18:
x_18 ≈ 11.17 - (4cos(4*11.17) - 1/(11.17-1))/(4*(-4)sin(4*11.17) + 1/(11.17-1)^2)
≈ 11.17 - (4cos(44.68) - 1/11.17)/(-16sin(44.68) + 1/45.17)
≈ 11.17 - (4*(-0.71) - 1/11.17)/(-16*0.79 + 1/45.17)
≈ 11.17 - (-2.84 - 0.1)/(-12.64 + 0.01)
≈ 11.17 + 2.94/12.65
≈ 11.17 +