Даны уравнения сторон треугольника

4х+3у-8=0(AB)

x+8y-60=0(BC)

3x-5y+23=0(AC)

Составить уравнения медианы AE,высоты AD и найти их длины

Для составления уравнений медианы AE и высоты AD треугольника, нам необходимо сначала найти координаты его вершин A, B и C.

1. Найдем вершину A:
Для этого решим систему уравнений 4x + 3y - 8 = 0 и 3x - 5y + 23 = 0:
4x + 3y - 8 = 0
3x - 5y + 23 = 0

Можно решить эту систему методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.
Для примера, воспользуемся методом сложения/вычитания уравнений:
Умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при x в обоих уравнениях стали одинаковыми:
12x + 9y - 24 = 0
12x - 20y + 92 = 0

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
(12x + 9y - 24) - (12x - 20y + 92) = 0
12x + 9y - 12x + 20y - 24 - 92 = 0
29y - 116 = 0
29y = 116
y = 4

Подставим значение y в первое уравнение:
4x + 3(4) - 8 = 0
4x + 12 - 8 = 0
4x + 4 = 0
4x = -4
x = -1

Таким образом, координаты вершины A равны (-1, 4).

2. Найдем вершину B:
Для этого решим систему уравнений 4x + 3y - 8 = 0 и x + 8y - 60 = 0:
4x + 3y - 8 = 0
x + 8y - 60 = 0

Можно решить эту систему методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.
Для примера, воспользуемся методом сложения/вычитания уравнений:
Умножим первое уравнение на 8 и второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при y в обоих уравнениях стали одинаковыми:
32x + 24y - 64 = 0
3x + 24y - 180 = 0

Теперь вычтем второе уравнение из первого:
(32x + 24y - 64) - (3x + 24y - 180) = 0
32x + 24y - 3x - 24y - 64 + 180 = 0
29x + 116 = 0
29x = -116
x = -4

Подставим значение x в первое уравнение:
4(-4) + 3y - 8 = 0
-16 + 3y - 8 = 0
3y - 24 = 0
3y = 24
y = 8

Таким образом, координаты вершины B равны (-4, 8).

3. Найдем вершину C:
Для этого решим систему уравнений x + 8y - 60 = 0 и 3x - 5y + 23 = 0:
x + 8y - 60 = 0
3x - 5y + 23 = 0

Можно решить эту систему методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.
Для примера, воспользуемся методом сложения/вычитания уравнений:
Умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 8, чтобы коэффициенты при y в обоих уравнениях стали одинаковыми:
3x + 24y - 180 = 0
24x - 40y + 184 = 0

Теперь вычтем первое уравнение из второго:
(24x - 40y + 184) - (3x + 24y - 180) = 0
24x - 40y - 3x - 24y + 184 + 180 = 0
21x - 64y + 364 = 0

Таким образом, уравнение прямой AC имеет вид: 21x - 64y + 364 = 0.

Теперь, когда мы знаем координаты вершин A, B и C, можем перейти к составлению уравнений медианы AE и высоты AD.

Уравнение медианы AE:
Медиана AE делит сторону BC пополам, поэтому координаты точки E будут равны средним значениям координат вершин B и C:
x_E = (x_B + x_C) / 2
y_E = (y_B + y_C) / 2

Подставим известные значения:
x_E = (-4 + x_C) / 2
y_E = (8 + y_C) / 2

Уравнение высоты AD:
Высота AD проходит через вершину A и перпендикулярна стороне BC, поэтому ее уравнение будет иметь вид:
(y - y_A) = -1 * (x - x_A) * k_BC

Где k_BC - коэффициент наклона стороны BC, который можно найти из уравнения BC:
x + 8y - 60 = 0
y = (-1/8) * x + 7.5

Таким образом, k_BC = -1/8.

Подставим известные значения:
(y - 4) = -1 * (x + 1) * (-1/8)

Теперь найдем длины медианы AE и высоты AD.

Для этого найдем расстояние между точками A и E, а также между точками A и D, используя формулу расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

Длина медианы AE:
d_AE = sqrt((x_E - x_A)^2 + (y_E - y_A)^2)

Подставим известные значения:
d_AE = sqrt(((-4 + x_C) / 2 - (-1))^2 + ((8 + y_C) / 2 - 4)^2)

Длина высоты AD:
d_AD = sqrt((x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2)

Подставим известные значения:
d_AD = sqrt((-1 - (-1))^2 + (4 - 4)^2)

Вычислив эти значения, мы найдем длины медианы AE и высоты AD треугольника.