В правильной пирамиде PABCD площадь основания равна 36, высота PH равна 3\sqrt{2}. Найдите \vec{AB}^2,\vec{PD}^2,\vec{AC}^2. 

Сделайте рисунок, запишите решение и ответ.

Для начала построим рисунок пирамиды PABCD:

```
D
/ \
/ \
/ \
/-------\
A---------C
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
B---------P
```

Из условия задачи, площадь основания равна 36, значит площадь треугольника ABC равна 36. Поскольку пирамида правильная, то треугольник ABC является равносторонним.

Также из условия задачи, высота PH равна 3√2. Заметим, что треугольник APH является прямоугольным, поскольку PH - высота, опущенная из вершины P, а треугольник ABC равносторонний, значит угол APH прямой.

Теперь рассмотрим треугольник APH. Мы знаем, что высота PH равна 3√2. Поскольку треугольник APH прямоугольный, то можем применить теорему Пифагора:

AP^2 + PH^2 = AH^2

AP^2 + (3√2)^2 = AH^2

AP^2 + 18 = AH^2

Так как треугольник ABC равносторонний, то сторона AB также равна 6 (так как площадь треугольника ABC равна 36).

Теперь рассмотрим треугольник ABH. Мы знаем, что сторона AB равна 6, а высота PH равна 3√2. Поскольку треугольник ABH прямоугольный, то можем применить теорему Пифагора:

AB^2 = AH^2 + BH^2

6^2 = AH^2 + (3√2)^2

36 = AH^2 + 18

AH^2 = 36 - 18

AH^2 = 18

Таким образом, получаем, что AH^2 равно 18.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Мы знаем, что сторона AB равна 6, а сторона AC равна 6 (так как треугольник ABC равносторонний). Поскольку треугольник ACD равносторонний, то можем применить теорему Пифагора:

AC^2 = AH^2 + CH^2

6^2 = 18 + CH^2

36 - 18 = CH^2

CH^2 = 18

Таким образом, получаем, что CH^2 равно 18.

Итак, мы получили следующие результаты:

- Длина вектора AB^2 равна 36.
- Длина вектора PD^2 равна 18.
- Длина вектора AC^2 равна 18.

Ответ: \vec{AB}^2 = 36, \vec{PD}^2 = 18, \vec{AC}^2 = 18.