Рассмотрим остатки 0,1,…,99 при делении на 100 . Заменим каждый остаток i на остаток i^2 при делении на 100 . Введите все остатки i , отличные от 5 , которые при возведении в квадрат дают такой же остаток при делении на 100 , что и 5^2 .

Остаток 5^2 при делении на 100 равен 25. Чтобы найти все остатки i, отличные от 5, которые при возведении в квадрат дают такой же остаток, мы можем решить уравнение i^2 ≡ 25 (mod 100).

Разложим 25 на простые множители: 25 = 5 * 5. Так как 5 является простым числом, то уравнение можно записать в виде двух уравнений:

i^2 ≡ 5 (mod 100)
i^2 ≡ 5 (mod 100)

Теперь рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1) i^2 ≡ 5 (mod 100)

Решим это уравнение методом перебора. Подставим значения i от 0 до 99 и найдем значения i^2 mod 100:

0^2 ≡ 0 (mod 100)
1^2 ≡ 1 (mod 100)
2^2 ≡ 4 (mod 100)
3^2 ≡ 9 (mod 100)
4^2 ≡ 16 (mod 100)
5^2 ≡ 25 (mod 100)
6^2 ≡ 36 (mod 100)
7^2 ≡ 49 (mod 100)
8^2 ≡ 64 (mod 100)
9^2 ≡ 81 (mod 100)
10^2 ≡ 0 (mod 100)
11^2 ≡ 21 (mod 100)
12^2 ≡ 44 (mod 100)
13^2 ≡ 69 (mod 100)
14^2 ≡ 96 (mod 100)
15^2 ≡ 25 (mod 100)
...

Мы видим, что остатки i, отличные от 5, которые при возведении в квадрат дают такой же остаток, как и 5^2, равны 15 и 85.

2) i^2 ≡ 5 (mod 100)

Решим это уравнение таким же способом:

0^2 ≡ 0 (mod 100)
1^2 ≡ 1 (mod 100)
2^2 ≡ 4 (mod 100)
3^2 ≡ 9 (mod 100)
4^2 ≡ 16 (mod 100)
5^2 ≡ 25 (mod 100)
6^2 ≡ 36 (mod 100)
7^2 ≡ 49 (mod 100)
8^2 ≡ 64 (mod 100)
9^2 ≡ 81 (mod 100)
10^2 ≡ 0 (mod 100)
11^2 ≡ 21 (mod 100)
12^2 ≡ 44 (mod 100)
13^2 ≡ 69 (mod 100)
14^2 ≡ 96 (mod 100)
15^2 ≡ 25 (mod 100)
...

Мы видим, что остатки i, отличные от 5, которые при возведении в квадрат дают такой же остаток, как и 5^2, равны 35 и 65.

Итак, все остатки i, отличные от 5, которые при возведении в квадрат дают такой же остаток при делении на 100, что и 5^2, равны 15, 35, 65 и 85.