Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y''-3y'+2y=0;y(0)=1;y'(0)=2

Для решения данного дифференциального уравнения, можно использовать характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид:

r^2 - 3r + 2 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, можно использовать методы факторизации или квадратного корня. В данном случае, уравнение может быть разложено следующим образом:

(r - 1)(r - 2) = 0

Таким образом, получаем два корня: r1 = 1 и r2 = 2.

Теперь, используя найденные корни, мы можем записать общее решение уравнения:

y(t) = c1 * e^(r1 * t) + c2 * e^(r2 * t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Для нахождения конкретного решения с учетом начальных условий y(0) = 1 и y'(0) = 2, подставим эти значения в общее решение:

y(0) = c1 * e^(r1 * 0) + c2 * e^(r2 * 0) = c1 + c2 = 1,

y'(0) = c1 * r1 * e^(r1 * 0) + c2 * r2 * e^(r2 * 0) = c1 * r1 + c2 * r2 = 2.

Из этих двух уравнений можно найти значения c1 и c2. Решая систему уравнений:

c1 + c2 = 1,
c1 * r1 + c2 * r2 = 2,

получаем c1 = 1 и c2 = 0.

Таким образом, конкретное решение данного дифференциального уравнения с учетом начальных условий будет:

y(t) = 1 * e^(1 * t) + 0 * e^(2 * t) = e^t.