Волновая функция одномерного гармонического осциллятора, находящегося в основном состоянии, имеет вид Ψ0(x) = ((mω)/(πh))^(1/4) exp((mωx^2)/(2h))

Определить среднее значение величины возвращающей силы, выразив его через массу частицы и частоту колебаний ω.

Среднее значение величины возвращающей силы можно определить, используя оператор возвращающей силы F = -mω^2x. Для этого нужно найти математическое ожидание этого оператора с использованием волновой функции основного состояния.

Среднее значение величины возвращающей силы (F) определяется как:

< F > = ∫ Ψ0(x) * F * Ψ0(x) dx

Подставляя волновую функцию Ψ0(x) и оператор F, получим:

< F > = ∫ ((mω)/(πh))^(1/2) exp((mωx^2)/(2h)) * (-mω^2x) * ((mω)/(πh))^(1/2) exp((mωx^2)/(2h)) dx

< F > = -mω^2 * ∫ (mω/(πh)) exp(mωx^2/h) * x * exp(mωx^2/h) dx

< F > = -mω^2 * (mω/(πh)) ∫ x * exp(2mωx^2/h) dx

Для решения этого интеграла можно воспользоваться заменой переменной u = 2mωx^2/h. Тогда dx = (h/(4mω))^(1/2) du.

< F > = -mω^2 * (mω/(πh)) ∫ (h/(4mω))^(1/2) * (u/h) * exp(u) du

< F > = -mω^2 * (mω/(πh)) * (h/(4mω))^(1/2) * ∫ u * exp(u) du

< F > = -mω^2 * (mω/(πh)) * (h/(4mω))^(1/2) * (u * exp(u) - ∫ exp(u) du)

< F > = -mω^2 * (mω/(πh)) * (h/(4mω))^(1/2) * (u * exp(u) - exp(u))

< F > = -mω^2 * (mω/(πh)) * (h/(4mω))^(1/2) * (2mωx^2/h * exp(2mωx^2/h) - exp(2mωx^2/h))

< F > = -2mω^3 * (x^2 * exp(2mωx^2/h) - exp(2mωx^2/h)) / (4mω)^(1/2)

< F > = -2mω^3 * (x^2 - 1) / (4mω)^(1/2)

Таким образом, среднее значение величины возвращающей силы равно -2mω^3 * (x^2 - 1) / (4mω)^(1/2).