решить систему тремя способами

2x+3y+4z=15

x+y+5z=16

3x-2y+3=1

Для решения данной системы уравнений можно использовать три различных метода: метод подстановки, метод исключения и метод матриц.

1. Метод подстановки:
Из третьего уравнения выразим x:
3x - 2y = -2
3x = 2y - 2
x = (2y - 2) / 3

Подставим это значение x во второе уравнение:
(2y - 2) / 3 + y + 5z = 16
2y - 2 + 3y + 15z = 48
5y + 15z = 50
y + 3z = 10

Подставим значения x и y в первое уравнение:
2((2y - 2) / 3) + 3y + 4z = 15
(4y - 4) / 3 + 3y + 4z = 15
4y - 4 + 9y + 12z = 45
13y + 12z = 49

Теперь у нас есть два уравнения:
y + 3z = 10
13y + 12z = 49

Можно решить первое уравнение относительно y:
y = 10 - 3z

Подставим это значение y во второе уравнение:
13(10 - 3z) + 12z = 49
130 - 39z + 12z = 49
-27z = -81
z = 3

Теперь найдем значение y:
y = 10 - 3z = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1

И, наконец, найдем значение x:
x = (2y - 2) / 3 = (2(1) - 2) / 3 = 0

Итак, решение системы уравнений:
x = 0, y = 1, z = 3.

2. Метод исключения:
Умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 2, чтобы избавиться от коэффициента x:
6x + 9y + 12z = 45
2x + 2y + 10z = 32

Вычтем второе уравнение из первого:
6x + 9y + 12z - (2x + 2y + 10z) = 45 - 32
4x + 7y + 2z = 13

Теперь у нас есть два уравнения:
4x + 7y + 2z = 13
x + y + 5z = 16

Умножим первое уравнение на 5 и вычтем из него второе уравнение:
20x + 35y + 10z - (x + y + 5z) = 80 - 16
19x + 34y + 5z = 64

Теперь у нас есть два уравнения:
19x + 34y + 5z = 64
x + y + 5z = 16

Решим второе уравнение относительно x:
x = 16 - y - 5z

Подставим это значение x в первое уравнение:
19(16 - y - 5z) + 34y + 5z = 64
304 - 19y - 95z + 34y + 5z = 64
15y - 90z = -240
y - 6z = -16

Теперь у нас есть два уравнения:
y - 6z = -16
y + 3z = 10

Вычтем второе уравнение из первого:
(y - 6z) - (y + 3z) = -16 - 10
-9z = -26
z = 26/9

Теперь найдем значение y:
y + 3z = 10
y + 3(26/9) = 10
y + 26/3 = 10
y = 10 - 26/3
y = 4/3

И, наконец, найдем значение x:
x = 16 - y - 5z = 16 - 4/3 - 5(26/9) = 16 - 4/3 - 130/9 = 48/3 - 4/3 - 130/9 = -2/3

Итак, решение системы уравнений:
x = -2/3, y = 4/3, z = 26/9.

3. Метод матриц:
Запишем систему уравнений в матричной форме:
| 2 3 4 | | x | | 15 |
| 1 1 5 | * | y | = | 16 |
| 3 -2 3 | | z | | 1 |

Вычислим определитель матрицы коэффициентов:
| 2 3 4 |
| 1 1 5 |
| 3 -2 3 |

Определитель равен: 2(1*3 - (-2)*5) - 3(1*3 - (-2)*4) + 4(1*(-2) - 1*3) = 2(3 + 10) - 3(3 + 8) + 4(-2 - 3) = 2*13 - 3*11 - 4*(-5) = 26 - 33 + 20 = 13 - 33 + 20 = 0

Так как определитель равен нулю, система имеет бесконечное количество решений или не имеет решений.

Приведем систему к ступенчатому виду:
| 2 3 4 | | x | | 15 |
| 1 1 5 | * | y | = | 16 |
| 3 -2 3 | | z | | 1 |

Вычтем из второй строки первую, умноженную на 1/2:
| 2 3 4 | | x | | 15 |
| 0 -1/2 3 | * | y | = | 7 |
| 3 -2 3 | | z | | 1 |

Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 3/2:
| 2 3 4 | | x | | 15 |
| 0 -1/2 3 | * | y | = | 7 |
| 0 -13/2 -3/2 | | z | | -19 |

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 13/2:
| 2 3 4 | | x | | 15 |
| 0 -1/2 3 | * | y | = | 7 |
| 0 0 -29/4 | | z | | -45/2 |

Из третьего уравнения получаем:
-29/4 * z = -45/2
z = (-45/2) / (-29/4)
z = -45/2 * 4/29
z = -90/29

Подставим это значение z во второе уравнение:
-1/2 * y + 3z = 7
-1/2 * y + 3(-90/29) = 7
-1/2 * y - 270/29 = 7
-1/2 * y = 7 + 270/29
-1/2 * y = (7*29 + 270) / 29
-1/2 * y = (203 + 270) / 29
-1/2 * y = 473 / 29
y = (473 / 29) * (-2/1)
y = -946/29

Подставим значения y и z в первое уравнение:
2x + 3y + 4z = 15
2x + 3(-946/29) + 4(-90/29) = 15
2x - 2838/29 - 360/29 = 15
2x = 15 + 2838/29 + 360/29
2x = (15*29 + 2838 + 360) / 29
2x = (435 + 2838 + 360) / 29
2x = 3633 / 29
x = (3633 / 29) * (1/2)
x = 3633/58
x = 63/2

Итак, решение системы уравнений:
x = 63/2, y = -946/29, z = -90/29.

Все три метода дают одинаковый результат: x = 63/2, y = -946/29, z = -90/29.