3.       Найдите площади фигур, ограниченных следующими линиями:

а) У = 5 x; x = 2; у = 0

б) У = 3 х- 1 ; х = 2; х = 4; у = 0

в) Х- у + 1 = 0;     3 х = 2 у – 12= 0; у =0

г) х- 4 у + 2 = 0; х+у-3 = 0; у = 0

 

А) Первая линия задана уравнением У = 5х. Линия проходит через начало координат (0,0) и имеет угол наклона 5. Вторая линия задана уравнением х = 2. Она является вертикальной линией, проходящей через точку (2,0). Третья линия задана уравнением у = 0 и является горизонтальной линией, проходящей через ось x.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно найти точки их пересечения и построить прямоугольник, ограниченный этими точками.

Пересечение первой и второй линий: подставим х = 2 в уравнение У = 5х, получим У = 5 * 2 = 10. Таким образом, точка пересечения первой и второй линий - (2, 10).

Пересечение второй и третьей линий: подставим у = 0 в уравнение х = 2, получим х = 2. Таким образом, точка пересечения второй и третьей линий - (2, 0).

Теперь у нас есть две точки: (0,0), (2,10). Мы можем построить прямоугольник, ограниченный этими точками.

Ширина прямоугольника будет равна расстоянию между x-координатами этих точек: 2 - 0 = 2.

Высота прямоугольника будет равна расстоянию между y-координатами этих точек: 10 - 0 = 10.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника, умножив ширину на высоту: 2 * 10 = 20.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями У = 5х, х = 2 и у = 0, равна 20.

б) Первая линия задана уравнением У = 3х - 1. Вторая линия задана уравнением х = 2. Третья линия задана уравнением х = 4. Четвертая линия задана уравнением у = 0.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно найти точки их пересечения и построить прямоугольник, ограниченный этими точками.

Пересечение первой и второй линий: подставим х = 2 в уравнение У = 3х - 1, получим У = 3 * 2 - 1 = 5. Таким образом, точка пересечения первой и второй линий - (2, 5).

Пересечение первой и третьей линий: подставим х = 4 в уравнение У = 3х - 1, получим У = 3 * 4 - 1 = 11. Таким образом, точка пересечения первой и третьей линий - (4, 11).

Пересечение второй и четвертой линий: подставим у = 0 в уравнение х = 2, получим х = 2. Таким образом, точка пересечения второй и четвертой линий - (2, 0).

Пересечение третьей и четвертой линий: подставим у = 0 в уравнение х = 4, получим х = 4. Таким образом, точка пересечения третьей и четвертой линий - (4, 0).

Теперь у нас есть четыре точки: (2, 5), (4, 11), (2, 0), (4, 0). Мы можем построить прямоугольник, ограниченный этими точками.

Ширина прямоугольника будет равна расстоянию между x-координатами этих точек: 4 - 2 = 2.

Высота прямоугольника будет равна расстоянию между y-координатами этих точек: 11 - 0 = 11.

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника, умножив ширину на высоту: 2 * 11 = 22.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями У = 3х - 1, х = 2, х = 4 и у = 0, равна 22.

в) Первая линия задана уравнением Х - у + 1 = 0. Вторая линия задана уравнением 3х = 2у - 12 = 0. Третья линия задана уравнением у = 0.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно найти точки их пересечения и построить треугольник, ограниченный этими точками.

Пересечение первой и второй линий: решим систему уравнений Х - у + 1 = 0 и 3х = 2у - 12 = 0. Подставим у = 1 - Х во второе уравнение: 3х = 2(1 - Х) - 12. Раскроем скобки: 3х = 2 - 2Х - 12. Перенесем все в одну сторону: 3х + 2Х = 2 - 12. Сократим: 5х = -10. Разделим на 5: х = -2. Подставим х = -2 в первое уравнение: -2 - у + 1 = 0. У = -2 + 1 = -1. Таким образом, точка пересечения первой и второй линий - (-2, -1).

Пересечение первой и третьей линий: подставим у = 0 в уравнение Х - у + 1 = 0, получим Х - 0 + 1 = 0. Х = -1. Таким образом, точка пересечения первой и третьей линий - (-1, 0).

Пересечение второй и третьей линий: подставим у = 0 в уравнение 3х = 2у - 12 = 0, получим 3х = 2 * 0 - 12 = -12. Таким образом, точка пересечения второй и третьей линий - (-4, 0).

Теперь у нас есть три точки: (-2, -1), (-1, 0), (-4, 0). Мы можем построить треугольник, ограниченный этими точками.

Основание треугольника будет равно расстоянию между x-координатами этих точек: |-2 - (-4)| = 2.

Высота треугольника будет равна расстоянию между y-координатами этих точек: |-1 - 0| = 1.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, умножив основание на высоту и разделив полученный результат на 2: (2 * 1) / 2 = 1.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями Х - у + 1 = 0, 3х = 2у - 12 = 0 и у = 0, равна 1.

г) Первая линия задана уравнением Х - 4у + 2 = 0. Вторая линия задана уравнением Х + у - 3 = 0. Третья линия задана уравнением у = 0.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно найти точки их пересечения и построить треугольник, ограниченный этими точками.

Пересечение первой и второй линий: решим систему уравнений Х - 4у + 2 = 0 и Х + у - 3 = 0. Сложим эти уравнения: (Х - 4у + 2) + (Х + у - 3) = 0 + 0. Получим 2Х - 3у - 1 = 0. Поделим на 2: Х - (3/2)у - 1/2 = 0. Подставим у = 0: Х - 0 - 1/2 = 0. Х = 1/2. Таким образом, точка пересечения первой и второй линий - (1/2, 0).

Пересечение второй и третьей линий: подставим у = 0 в уравнение Х + у - 3 = 0, получим Х + 0 - 3 = 0. Х = 3. Таким образом, точка пересечения второй и третьей линий - (3, 0).

Пересечение первой и третьей линий: подставим у = 0 в уравнение Х - 4у + 2 = 0, получим Х - 4 * 0 + 2 = 0. Х = 2. Таким образом, точка пересечения первой и третьей линий - (2, 0).

Теперь у нас есть три точки: (1/2, 0), (3, 0), (2, 0). Мы можем построить треугольник, ограниченный этими точками.

Основание треугольника будет равно расстоянию между x-координатами этих точек: |(1/2) - 2| = 3/2.

Высота треугольника будет равна расстоянию между y-координатами этих точек: 0 - 0 = 0.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, умножив основание на высоту и разделив полученный результат на 2: (3/2 * 0) / 2 = 0.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной линиями Х - 4у + 2 = 0, Х + у - 3 = 0 и у = 0, равна 0.