Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым, десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как \( a \), а знаменатель прогрессии как \( r \).

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна:
\[ S_5 = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 = 62 \]

Также известно, что пятый член геометрической прогрессии равен первому члену арифметической прогрессии, то есть \( ar^4 = a \).

Аналогично, восьмой член геометрической прогрессии равен второму члену арифметической прогрессии (\( ar^7 = a + 3d \)), а одиннадцатый член геометрической прогрессии равен десятому члену арифметической прогрессии (\( ar^{10} = a + 9d \)).

Теперь мы можем составить систему уравнений и решить её. Подставим \( ar^4 = a \) в уравнение для суммы первых пяти членов:
\[ a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 = 62 \]
\[ a + ar + ar^2 + ar^3 + a = 62 \]
\[ a(1 + r + r^2 + r^3 + 1) = 62 \]
\[ a(r^3 + r^2 + r + 1) = 62 \]

Теперь подставим \( ar^7 = a + 3d \) и \( ar^{10} = a + 9d \) в уравнение:
\[ ar^7 + ar^{10} = 62 \]
\[ a(r^7 + r^{10}) = 62 \]

Подставим \( ar^4 = a \) в \( ar^7 = a + 3d \) и \( ar^{10} = a + 9d \):
\[ a^2 = a + 3d \]
\[ a^2 = a + 9d \]

Теперь у нас есть система уравнений, которую можно решить для нахождения \( a \) и \( r \).