1)В ДАВС <C=90°, <A: <B=4:5.

Найдите а) <А,<B

б) внешний угол при вершине А.

2) Докажите, что в равнобедренном треугольнике, высоты проведённые к боковым сторонам равны.

3) Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам.

Дополнительно: Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и

меньшего катета равна 42 см. найдите гипотенузу.

1)
а) Из условия известно, что <A = 4x, <B = 5x, и <C = 90°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то 4x + 5x + 90 = 180. Отсюда находим x: 9x + 90 = 180, 9x = 90, x = 10. Теперь находим <A и <B: <A = 4 * 10 = 40°, <B = 5 * 10 = 50°.

б) Внешний угол при вершине A равен сумме двух внутренних углов, не смежных с данным углом. Таким образом, внешний угол при вершине A = <B + <C = 50° + 90° = 140°.

2) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Проведем высоты AD и BE к сторонам BC и AC соответственно. Так как треугольник ABC равнобедренный, то он также равносторонний, и у него все углы при основании равны. Значит, треугольники ABD и ACD подобны, и соответственно, AD/AC = BD/AB и AD/AC = CD/AC. Так как AB = AC, то BD = CD, что означает, что высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

3) Для построения треугольника по стороне и двум прилежащим углам нужно выполнить следующие шаги:
- Нарисовать отрезок, который будет являться одной из сторон треугольника.
- Из одного конца этого отрезка провести луч, образующий с этим отрезком один из заданных углов.
- Из другого конца отрезка провести луч, образующий с этим отрезком другой заданный угол.
- Точка пересечения этих двух лучей будет вершиной треугольника.
- Провести третью сторону треугольника, соединяющую вершину с точками пересечения лучей.

Дополнительно:
Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника, где один из углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см, можно воспользоваться формулой косинуса для прямоугольного треугольника:
cos(60°) = adjacent / hypotenuse
cos(60°) = 1/2
Так как adjacent = 42 - smaller leg (меньший катет), то:
1/2 = (42 - smaller leg) / hypotenuse
hypotenuse = (42 - smaller leg) / (1/2)
hypotenuse = 2 * (42 - smaller leg)
hypotenuse = 84 - 2 * smaller leg

Так как у нас есть прямоугольный треугольник с углом 60°, то меньший катет равен hypotenuse * sin(60°):
smaller leg = hypotenuse * sin(60°)
smaller leg = (84 - 2 * smaller leg) * sin(60°)
smaller leg = 84 * sin(60°) - 2 * smaller leg * sin(60°)
smaller leg + 2 * smaller leg * sin(60°) = 84 * sin(60°)
smaller leg(1 + 2 * sin(60°)) = 84 * sin(60°)
smaller leg = (84 * sin(60°)) / (1 + 2 * sin(60°))

Теперь подставляем найденное значение меньшего катета в формулу для нахождения гипотенузы:
hypotenuse = 84 - 2 * smaller leg

Таким образом, мы можем найти гипотенузу прямоугольного треугольника.