Через вершины A и C треугольника ABC, площадь которого равна 10 корней из 3 проведена окружность, пересекающая сторону AB в точке M, а продолжение стороны BC – в точке N. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на отрезке MN. Найти длину MN, если известно, что BC = 5, угол ABC = 60°.

Для начала обозначим центр описанной окружности как O. Так как центр описанной окружности лежит на отрезке MN, то он также лежит на перпендикуляре к стороне AB, проходящем через середину этой стороны.

Так как площадь треугольника ABC равна 10 корням из 3, то ее можно выразить через стороны и углы треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC \).

Из условия известно, что BC = 5 и угол ABC = 60°, поэтому площадь треугольника ABC равна 10 корням из 3: \( 10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 5 \cdot \sin 60° \).

Отсюда находим длину стороны AB: \( AB = \frac{10\sqrt{3}}{\frac{5 \cdot \sqrt{3}}{2}} = 4 \).

Так как центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на перпендикуляре к стороне AB, проходящем через середину этой стороны, то точка O также является серединой стороны AB.

Таким образом, длина отрезка MN равна половине длины стороны AB: \( MN = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \). Получаем, что длина отрезка MN равна 2.