В треугольнике PQR стороны PR,PQ, и QR равны 9,6,5 соответственно. Точка S расположена вне трехугольника PQR, причём отрезок SR пересекает строну PQ в точке, отличной от Q. Известно, что треугольник с вершинами S,P и R подобен исходному. Найдите косинус угла PSR, если угол SRP тупой.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов.

Пусть угол PSR равен α. Так как треугольник SPR подобен треугольнику PQR, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Таким образом, мы можем записать:

SR/PR = SP/PQ.

Из условия задачи известно, что PR = 9, PQ = 6, QR = 5. Также из условия следует, что SR > PQ, поэтому SR = PQ + x, где x - некоторое положительное число.

Теперь подставим известные значения и полученное равенство в теорему косинусов для треугольника SPR:

cos(α) = (SP^2 + PR^2 - SR^2) / (2 * SP * PR).

Подставляем значения сторон:

cos(α) = (SP^2 + 81 - (PQ + x)^2) / (2 * SP * 9).

Так как треугольник SPR подобен треугольнику PQR, отношение сторон SP/PQ равно отношению сторон PR/QR:

SP/PQ = PR/QR,

SP/6 = 9/5,

SP = 54/5.

Теперь подставляем значение SP в формулу для cos(α) и упрощаем:

cos(α) = (2916/25 + 81 - (6 + x)^2) / (18 * 9).

Так как угол SRP тупой, то cos(α) < 0.

Таким образом, косинус угла PSR равен:

cos(α) = (2916/25 + 81 - (6 + x)^2) / 162.