1. К окружности с центром О проведена касательная FE (F— точка касания). Найдите отрезок FE, если OF = 5 см и <FOE = 30°.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике OEF.

Пусть отрезок OE равен r см (FE = r, так как F— точка касания).
Тогда, по теореме косинусов в треугольнике OEF:

EF^2 = OE^2 + OF^2 - 2 * OE * OF * cos(FOE)

EF^2 = r^2 + 5^2 - 2 * r * 5 * cos(30°)
EF^2 = r^2 + 25 - 10r * cos(30°)
EF^2 = r^2 + 25 - 10r * √3 / 2
EF^2 = r^2 + 25 - 5r * √3

Так как треугольник OEF — равнобедренный (так как FE — касательная к окружности, а значит, угол FOE прямой), то r = EF.
Подставляем это в уравнение:

r^2 = r^2 + 25 - 5r * √3
0 = 25 - 5r * √3
5r * √3 = 25
r = 25 / (5 * √3)
r = 5 / √3
r = 5√3 / 3

Таким образом, отрезок FE равен 5√3 / 3 см.