В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся, им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии – 18 человек, по тригонометрии – 18 человек. По алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 9 человек, по геометрии и тригонометрии – 8 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили все задачи?

Давайте воспользуемся методом включений и исключений для решения этой задачи.

Обозначим:
- A - количество учащихся, решивших задачу по алгебре (20 человек)
- B - количество учащихся, решивших задачу по геометрии (18 человек)
- C - количество учащихся, решивших задачу по тригонометрии (18 человек)
- AB - количество учащихся, решивших задачи по алгебре и геометрии (7 человек)
- AC - количество учащихся, решивших задачи по алгебре и тригонометрии (9 человек)
- BC - количество учащихся, решивших задачи по геометрии и тригонометрии (8 человек)
- ABC - количество учащихся, решивших все три задачи (искомое значение)

Тогда по формуле включений и исключений:
\[N(A \cup B \cup C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(AB) - N(AC) - N(BC) + N(ABC) + N(\varnothing)\]

Подставим известные значения:
\[40 = 20 + 18 + 18 - 7 - 9 - 8 + N(ABC) + 3\]

Решив уравнение, получаем:
\[N(ABC) = 7\]

Итак, 7 учащихся решили все три задачи.