На координатной плоскости с началом координат O отмечены все

точки (x, y), удовлетворяющие соотношению x^2+х^3=у^2

. Кирилл взял

отмеченные точки A и B, такие что OA ⊥ OB. Докажите, что прямая

AB проходит через некоторую точку, не зависящую от выбора A и B

Для начала рассмотрим уравнение x^2 + x^3 = y^2. Преобразуем его, выделив полный квадрат:

x^2 + x^3 = y^2
x^2(1 + x) = y^2
x^2(1 + x) = y^2
x^2(1 + x)^2 = y^2

Таким образом, у нас есть уравнение вида y^2 = kx^2, где k = (1 + x)^2. Это уравнение представляет собой уравнение параболы, симметричной относительно оси OY.

Теперь, если мы возьмем точки A(x1, y1) и B(x2, y2) такие, что OA ⊥ OB, то векторы OA и OB будут перпендикулярными и, следовательно, их скалярное произведение равно 0:

(x1, y1) * (x2, y2) = x1*x2 + y1*y2 = 0

Таким образом, прямая AB будет проходить через точку (0, 0), которая является точкой пересечения параболы с осью координат. Эта точка не зависит от выбора точек A и B и, следовательно, прямая AB будет проходить через эту точку.