В стране 30 городов, некоторые города соединены между собой до-

рогами так, что из любого города можно добраться до любого другого

(возможно, проезжая через другие города). Известно, что среди любых

пяти городов найдутся хотя бы три дороги между этими городами. До-

кажите, что можно объехать 29 городов, не побывав ни в одном городе

дважды.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле.

Предположим, что мы не можем объехать 29 городов, не побывав ни в одном городе дважды. Это означает, что мы должны посетить как минимум один город дважды. Рассмотрим два случая:

1. Если мы посетили один город дважды, то между этим городом и остальными городами должно быть по меньшей мере три дороги. Так как у нас всего 30 городов, то остается 29 городов, которые мы можем объехать, не посещая один город дважды.

2. Если мы посетили два города дважды, то между этими двумя городами и остальными городами должно быть по меньшей мере шесть дорог. Но у нас всего 30 городов, и если мы посетили два города дважды, то остается только 28 городов, которые мы можем объехать, не посещая два города дважды.

Таким образом, в обоих случаях мы можем объехать 29 городов, не побывав ни в одном городе дважды, что завершает доказательство.