Даны координаты векторов а₁, а₂, а₃, а₄ и b в некотором базисе. Покажите, что векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис, и найдите координаты вектора b в этом базисе.

а₁(2,4,2,1);а₂(-10,-9,-7,-5);а₃(0,10,0,-2);а₄(-4,3,-1,0);b(-42,-43,-39,23).

Для того чтобы показать, что векторы \(a_1, a_2, a_3, a_4\) образуют базис, нужно проверить их линейную независимость и то, что они порождают всё пространство.

1. Линейная независимость:
Составим матрицу из координат векторов \(a_1, a_2, a_3, a_4\) и решим систему уравнений, чтобы проверить их линейную независимость:

\[
\begin{pmatrix}
2 & -10 & 0 & -4 \\
4 & -9 & 10 & 3 \\
2 & -7 & 0 & -1 \\
1 & -5 & -2 & 0
\end{pmatrix}
\]

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -5 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 5 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

Так как полученная матрица имеет ранг 3, а количество векторов равно 4, то векторы \(a_1, a_2, a_3, a_4\) линейно независимы.

2. Порождение пространства:
Так как векторы \(a_1, a_2, a_3, a_4\) линейно независимы и их количество равно размерности пространства (4), то они образуют базис пространства.

Теперь найдем координаты вектора \(b\) в этом базисе. Для этого решим систему уравнений:

\[
\begin{pmatrix}
2 & -10 & 0 & -4 & -42 \\
4 & -9 & 10 & 3 & -43 \\
2 & -7 & 0 & -1 & -39 \\
1 & -5 & -2 & 0 & 23
\end{pmatrix}
\]

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:

\[
\begin{pmatrix}
1 & -5 & -2 & 0 & 23 \\
0 & 1 & 5 & 3 & 8 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

Отсюда получаем координаты вектора \(b\) в базисе \(a_1, a_2, a_3, a_4\):

\(b = (23, 8, 1, 0)\)