tujikov_roman

Для того чтобы показать, что векторы \(a_1, a_2, a_3, a_4\) образуют базис, нужно проверить их линейную независимость и то, что они порождают всё пространство. 1. Линейная независимость: Составим матрицу из координат векторов \(a_1, a_2, a_3, a_4\) и решим систему уравнений, чтобы проверить их линейную независимость: \[ \begin{pmatrix} 2 & -10 & 0 & -4 \\ 4 & -9 & 10 & 3 \\ 2 & -7 & 0 & -1 \\ 1 & -5 & -2 & 0 \end{pmatrix} \] Приведем эту матрицу к ступенчатому виду: \[ \begin{pmatrix} 1 & -5 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Так как полученная матрица имеет ранг 3, а количество векторов равно 4, то векторы \(a_1, a_2, a_3, a_4\) линейно независ

А) Начнем с уравнения у^2 + 4x^2 - 2y = 0. 1. Приведем его к каноническому виду, выделив полные квадраты: у^2 - 2y + 4x^2 = 0 y^2 - 2y + x^2 = 0 (y - 1)^2 - 1 + x^2 = 0 (y - 1)^2 = 1 - x^2. 2. Теперь у нас получилось уравнение в каноническом виде: (y - 1)^2 = 1 - x^2. 3. Построим эту кривую. Она представляет собой параболу, открытую вверх, центр которой находится в точке (0, 1). б) Теперь перейдем ко второму уравнению x^2 - 4x + 5y - 6 = 0. 1. Преобразуем его к каноническому виду: x^2 - 4x + 4 + 5y = 6 (x - 2)^2 + 5y = 2. 2. Получили уравнение в каноническом виде: (x - 2)^2 + 5y = 2. 3. Построим эту кривую. Она представляет собой параболу, с вершиной в точке (2, 0) и открытую вверх.

Давайте по порядку решим каждый из пунктов: 1) Длины ребер а1а2 и а1а3: Длина ребра a1a2: $$ a1a2 = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (7 - 0)^2 + (9 - 7)^2} = \sqrt{6^2 + 7^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 49 + 4} = \sqrt{89} $$ Длина ребра a1a3: $$ a1a3 = \sqrt{(3 - 2)^2 + (7 - (-3))^2 + (9 - (-5))^2} = \sqrt{1^2 + 10^2 + 14^2} = \sqrt{1 + 100 + 196} = \sqrt{297} $$ 2) Угол между ребрами a1a2 и a1a3: Угол между векторами можно найти по формуле: $$ \cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{\lVert a \rVert \lVert b \rVert} $$ где a и b - векторы, a1a2 и a1a3 соответственно. 3) Площадь грани a1a2a3: Площадь треугольника можно найти по формуле Герона, зная длины его сторон. 4) Объем пирамиды a1a2a3a4: Объем пирамиды можно