В прямоугольном треугольнике с острым углом α катеты равны 5cos α и sin α. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями для прямоугольного треугольника.

Из условия задачи, катеты равны 5cos α и sin α. Обозначим меньший катет через x. Тогда больший катет равен 5cos α, а x = sin α.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:
\(x^2 + (5\cos\alpha)^2 = (5\cos\alpha)^2\).

Подставляем x = sin α:
\((\sin\alpha)^2 + (5\cos\alpha)^2 = (5\cos\alpha)^2\).

Упрощаем выражение:
\(\sin^2\alpha + 25\cos^2\alpha = 25\cos^2\alpha\),
\(\sin^2\alpha = 24\cos^2\alpha\).

Так как sin^2 α + cos^2 α = 1, то sin^2 α = 1 - cos^2 α.

Подставляем это в уравнение:
\(1 - \cos^2\alpha = 24\cos^2\alpha\),
\(25\cos^2\alpha = 1\),
\(\cos^2\alpha = \frac{1}{25}\),
\(\cos\alpha = \pm\frac{1}{5}\).

Так как угол α острый, то cos α > 0, следовательно, cos α = 1/5.

Теперь найдем sin α:
\(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}\).

Теперь находим квадрат меньшего катета:
\(x^2 = (\sin\alpha)^2 = \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = \frac{24}{25}\).

Итак, квадрат меньшего катета равен 24/25.