Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведены касательные к каждой из окружностей, вторично пересекающие их в точках C и K. Найдите длину хорды AB, если CA=90, KA=10 и касательные перпендикулярны друг другу.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами касательных.

Так как касательные перпендикулярны друг другу, то треугольник BCK является прямоугольным. Пусть D - середина отрезка CK. Тогда, так как CA и KA - касательные, CD=CK/2=45 и KD=CK/2=5.

Также, так как CA и KA - касательные, то угол KAB = угол ABC = 90 градусов.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = 90^2 + (CD + KD)^2
AB^2 = 90^2 + (45 + 5)^2
AB^2 = 8100 + 250
AB^2 = 8350

AB = √8350 ≈ 91.44

Таким образом, длина хорды AB равна примерно 91.44.