1. Вершины треугольника АВС лежат на сфере радиуса 17,12 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ= 16 см, ВС=30 см, АС-34 см.

Для решения этой задачи нам нужно найти радиус вписанной сферы в треугольник ABC. Радиус вписанной сферы можно найти по формуле:
\[ r = \frac{S_{ABC}}{p}, \]
где \( S_{ABC} \) - площадь треугольника ABC, а \( p \) - полупериметр треугольника ABC.

Сначала найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:
\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{16 + 30 + 34}{2} = 40. \]

Теперь найдем площадь треугольника ABC:
\[ S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{40 \cdot 24 \cdot 10 \cdot 6} = \sqrt{57600} = 240. \]

Теперь найдем радиус вписанной сферы:
\[ r = \frac{S_{ABC}}{p} = \frac{240}{40} = 6. \]

Таким образом, радиус вписанной сферы треугольника ABC равен 6 см.

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно радиусу вписанной сферы, то есть 6 см.