При каких значениях параметра а корни уравнения x^3 + 6х^2 + 11x + а = 0 образуют арифметическую прогрессию?

Для того чтобы корни уравнения $x^3 + 6x^2 + 11x + a = 0$ образовывали арифметическую прогрессию, необходимо, чтобы сумма любых двух корней была равна утроенному значению среднего корня.

Пусть корни уравнения образуют арифметическую прогрессию и равны $p - d$, $p$, $p + d$. Тогда сумма любых двух корней равна $2p$ или $2p + 2d$.

Сумма корней данного уравнения равна $-6$, так как коэффициент при $x^2$ равен $6$ и имеет противоположный знак. Таким образом, $p = -2$.

Теперь выразим $a$ через $p$ и $d$. Согласно формуле Виета, произведение корней равно свободному члену уравнения, то есть $a = -(-2)^3 = -8$.

Таким образом, при $a = -8$ корни уравнения $x^3 + 6x^2 + 11x + a = 0$ образуют арифметическую прогрессию.