Даны треугольники AВС и A1B1C1, расположенные так, что BC B1C1, AC A1C1, и точки A, В, A1, B1 лежат на одной прямой. Пусть описанные окружности треугольников А1ВС и АВ1С пересекаются в точках

P,Q. Докажите, что точки P, Q, C1 лежат на одной прямой

Для начала заметим, что по условию треугольники ABC и A1B1C1 подобны, так как их стороны параллельны и соответственные углы равны.

Теперь рассмотрим описанные окружности треугольников A1BC и AB1C. Пусть O1 и O2 - центры этих окружностей, а R1 и R2 - их радиусы. Так как точки A1, B, C лежат на одной прямой, то угол A1BC = 180 - угол A1AC = угол ACB. Аналогично угол AB1C = угол ABC. Значит, угол A1BC = угол AB1C. Таким образом, треугольники A1BC и AB1C равновелики, и их описанные окружности имеют общие точки пересечения P и Q.

Теперь рассмотрим треугольник C1BC. Так как BC || B1C1, то угол C1BC = угол B1C1C. Также, угол C1CB = угол B1CC1. Значит, угол C1BC = угол B1C1C. Из этого следует, что треугольники C1BC и B1C1C равновелики, и их описанные окружности имеют общие точки пересечения C1 и C.

Таким образом, точки P, Q, C1 лежат на одной прямой.