1. В треугольнике АВС АВ = 29 см, ВС = 36 см, АС = 25 см.

В вершине А к плоскости треугольника восстановлен перпендикуляр

АМ, равный 15 см. Точка М соединена отрезками прямых с верши-

нами В и С . Определите площадь треугольника МВС.

Для начала найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона, используя длины сторон:

Полупериметр треугольника ABC:
\[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{29 + 36 + 25}{2} = 45 \, \text{см} \]

Площадь треугольника ABC:
\[ S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{45 \cdot 16 \cdot 19 \cdot 20} = 360 \, \text{см}^2 \]

Теперь найдем высоту треугольника ABC, проведенную из вершины A к стороне BC. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника через основание и высоту:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM \]
\[ 360 = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 15 \]
\[ AM = \frac{360 \cdot 2}{36} = 20 \, \text{см} \]

Теперь найдем площадь треугольника MBC. Поскольку AM является высотой треугольника ABC, то треугольники ABC и MBC подобны, и соответственно, отношение площадей равно квадрату отношения сторон:
\[ \frac{S_{MBC}}{S_{ABC}} = \left( \frac{BC}{AM} \right)^2 \]
\[ S_{MBC} = S_{ABC} \cdot \left( \frac{BC}{AM} \right)^2 = 360 \cdot \left( \frac{36}{20} \right)^2 = 360 \cdot \left( \frac{9}{5} \right)^2 = 360 \cdot \frac{81}{25} = 1166.4 \, \text{см}^2 \]

Ответ: Площадь треугольника MBC равна 1166.4 квадратных сантиметров.