По координатам вершин треугольника ABC , A(1,-1),B(-5,2),C(-2,3),найти: ·

 уравнение линии BC; ·

 уравнение высоты AK; ·

 длину высоты AK; ·

 уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC;

· уравнение медианы(AM) , проведенной через вершинуA ;

угол (ф), образованный медианой, проведенной из вершины A , и стороной AB ; · площадь треугольника ABC·

Для решения задачи нам потребуется выполнить следующие шаги:

1. Найдем уравнение прямой BC, проходящей через точки B(-5,2) и C(-2,3).
Уравнение прямой через две точки можно найти, используя формулу:
\[y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1)\]
Подставим координаты точек B и C:
\[y - 2 = \frac{3 - 2}{-2 - (-5)} \cdot (x + 5)\]
\[y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x + 5)\]
\[3y - 6 = x + 5\]
\[x - 3y + 11 = 0\]
Уравнение прямой BC: \(x - 3y + 11 = 0\).

2. Найдем уравнение высоты AK, проведенной из вершины A(1,-1).
Высота перпендикулярна стороне BC и проходит через вершину A. Уравнение прямой перпендикулярной данной прямой можно найти, используя формулу:
\[y - y_0 = -\frac{1}{k} \cdot (x - x_0)\]
где k - коэффициент наклона прямой BC.
Уравнение прямой BC имеет коэффициент наклона 1/3, следовательно, уравнение высоты AK:
\[y + 1 = -3(x - 1)\]
\[y = -3x + 2\]
Уравнение высоты AK: \(y = -3x + 2\).

3. Длина высоты AK равна расстоянию между точкой A(1,-1) и прямой BC.
Формула для расстояния от точки (x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0:
\[d = \frac{|Ax₁ + By₁ + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
Подставим координаты точки A и уравнение прямой BC:
\[d = \frac{|1 - 3(-1) + 2|}{\sqrt{1 + 9}}\]
\[d = \frac{6}{\sqrt{10}}\]
\[d = \frac{3\sqrt{10}}{5}\]
Длина высоты AK: \(\frac{3\sqrt{10}}{5}\).

4. Уравнение прямой l, проходящей через точку A(1,-1) и параллельной прямой BC.
Прямая l будет иметь такой же коэффициент наклона, как и прямая BC, но будет проходить через точку A.
Уравнение прямой l:
\[y + 1 = \frac{1}{3}(x - 1)\]
\[3y + 3 = x - 1\]
\[x - 3y - 4 = 0\]
Уравнение прямой l: \(x - 3y - 4 = 0\).

5. Уравнение медианы AM, проведенной из вершины A(1,-1).
Медиана делит сторону BC пополам и проходит через вершину A. Найдем координаты точки M, середины стороны BC:
\[M\left(\frac{-5 - 2}{2}, \frac{2 + 3}{2}\right)\]
\[M\left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\]
Уравнение медианы AM можно найти, используя координаты точек A и M:
\[y + 1 = \frac{5 - (-1)}{-\frac{3}{2} - 1}(x - 1)\]
\[y + 1 = -\frac{12}{3}(x - 1)\]
\[3y + 3 = -12x + 12\]
\[12x + 3y - 9 = 0\]
Уравнение медианы AM: \(12x + 3y - 9 = 0\).

6. Угол \(ф\), образованный медианой AM и стороной AB.
Угол \(ф\) между медианой и стороной треугольника можно найти, используя формулу:
\[\cos(ф) = \frac{AB \cdot AM}{|AB| \cdot |AM|}\]
Длины сторон AB и AM:
\[|AB| = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]
\[|AM| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2} - 1\right)^2 + \left(\frac{5}{2} - (-1)\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{74}{4}} = \frac{\sqrt{74}}{2}\]
\[AB \cdot AM = 3\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{74}}{2} = \frac{3\sqrt{370}}{2}\]
Угол \(ф\):
\[\cos(ф) = \frac{3\sqrt{370}}{2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{74}}{2}} = \frac{\sqrt{370}}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{74}}{2}} = \frac{\sqrt{370}}{2 \cdot \sqrt{370}} = \frac{1}{2}\]
Отсюда получаем, что угол \(ф\) равен 60 градусам.

7. Площадь треугольника ABC.
Площадь треугольника можно найти, используя формулу площади треугольника по координатам вершин:
\[S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\]
Подставим координаты вершин треугольника ABC:
\[S = \frac{1}{2} |1(2 - 3) + (-5)(3 - (-1)) + (-2)((-1) - 2)|\]
\[S = \frac{1}{2} |-1 + 8 - 6|\]
\[S = \frac{1}{2} |1|\]
\[S = \frac{1}{2}\]
Площадь треугольника ABC равна 0.5.