Найти производную функции u в точке М по направлению, идущему от этой точки к точке P.

u = xz2/y + xzy2 + y/z4; M(1, 1, -1); P(7, -2, 1)

Для нахождения производной функции u в точке M по направлению, идущему от точки M к точке P, нужно сначала найти вектор направления, который будет равен вектору, направленному от точки M к точке P, нормализованному.

1. Найдем вектор, направленный от точки M(1, 1, -1) к точке P(7, -2, 1):
\[ \overrightarrow{MP} = \langle 7-1, -2-1, 1-(-1) \rangle = \langle 6, -3, 2 \rangle \]

2. Теперь нормализуем этот вектор:
\[ \overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{MP}}{\|\overrightarrow{MP}\|} = \frac{\langle 6, -3, 2 \rangle}{\sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2}} = \frac{\langle 6, -3, 2 \rangle}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7} \langle 6, -3, 2 \rangle = \langle \frac{6}{7}, -\frac{3}{7}, \frac{2}{7} \rangle \]

3. Теперь найдем производную функции u в точке M по направлению вектора \(\overrightarrow{v}\):
\[ \nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) \]

\[ \frac{\partial u}{\partial x} = z^2/y + zy^2 \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -xz^2/y^2 + xz2y - 4y/z^5 \]
\[ \frac{\partial u}{\partial z} = 2xz/y + xy^2 - 4y/z^5 \]

4. Теперь найдем значение производной в направлении вектора \(\overrightarrow{v}\):
\[ D_{\overrightarrow{v}}u = \nabla u \cdot \overrightarrow{v} = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right) \cdot \left( \frac{6}{7}, -\frac{3}{7}, \frac{2}{7} \right) \]

Подставляем значения производных и вектора \(\overrightarrow{v}\) и вычисляем скалярное произведение.