1. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного тре-угольника, если высота, проведённая к гипотенузе, равна 5 см.

Для нахождения площади равнобедренного прямоугольного треугольника с высотой, проведенной к гипотенузе, равной 5 см, нам нужно знать длину гипотенузы.

По свойствам равнобедренного прямоугольного треугольника, мы знаем, что высота, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых катет равен половине гипотенузы.

Пусть длина гипотенузы равна 2a, тогда катеты равны a. Таким образом, по теореме Пифагора, имеем:
a^2 + a^2 = (2a)^2
2a^2 = 4a^2
a^2 = 2a^2
a = √2 * a

Так как длина гипотенузы равна 2a, то длина гипотенузы равна 2√2 * a.

Теперь можем найти площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Так как катеты равны a, то площадь одного из прямоугольных треугольников равна (a * a) / 2 = a^2 / 2.

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна удвоенной площади одного из прямоугольных треугольников, то есть:
S = 2 * (a^2 / 2) = a^2 = (2√2 * a)^2 = 8 * a^2

Таким образом, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с высотой, проведенной к гипотенузе, равной 5 см, равна 8 * 5^2 = 200 квадратных сантиметров.