1. Как определяется скалярное произведение векторов?
2. Как вычисляется скалярное произведение в координатах?
3. Каковы основные свойства скалярного произведения?

4. Как вычисляется расстояние между двумя точками в пространстве с помощью координат?

อ. BanMIuMTe VDaBHeHMe ITOCKOCTH.

6. Запишите уравнение сферы.

КРАТКО НАПИСАТЬ

1. Скалярное произведение векторов определяется как произведение модулей векторов на косинус угла между ними: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \).

2. Для вычисления скалярного произведения в координатах необходимо умножить соответствующие координаты векторов и сложить полученные произведения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \).

3. Основные свойства скалярного произведения:
- Коммутативность: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \).
- Дистрибутивность относительно сложения векторов: \( \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \).
- Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \).

4. Расстояние между двумя точками в пространстве с координатами \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) вычисляется по формуле:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \].

5. Уравнение сферы в пространстве имеет вид:
\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 \],
где \( (a, b, c) \) - координаты центра сферы, \( r \) - радиус сферы.