Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат, если вершины имеют координаты А(-3; 5; 6), В(1; -5; 7),

C(8; -3; -1) и D(4; 7; -2).

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо проверить, что все стороны четырехугольника равны между собой и что углы между этими сторонами равны 90 градусов.

1. Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD, используя формулу длины отрезка между двумя точками в трехмерном пространстве:

AB = √((1 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2 + (7 - 6)^2) = √(4^2 + 10^2 + 1^2) = √(16 + 100 + 1) = √117

BC = √((8 - 1)^2 + (-3 + 5)^2 + (-1 - 7)^2) = √(7^2 + 2^2 + (-8)^2) = √(49 + 4 + 64) = √117

CD = √((4 - 8)^2 + (7 + 5)^2 + (-2 - 7)^2) = √((-4)^2 + 12^2 + (-9)^2) = √(16 + 144 + 81) = √241

DA = √((-3 - 4)^2 + (5 - 7)^2 + (6 + 2)^2) = √((-7)^2 + (-2)^2 + 8^2) = √(49 + 4 + 64) = √117

Таким образом, AB = BC = CD = DA = √117.

2. Теперь найдем углы между сторонами четырехугольника ABCD.

Найдем векторы AB, BC, CD и DA:

AB = (1 - (-3), -5 - 5, 7 - 6) = (4, -10, 1)

BC = (8 - 1, -3 - (-5), -1 - 7) = (7, 2, -8)

CD = (4 - 8, 7 - (-3), -2 - 7) = (-4, 10, -9)

DA = (-3 - 4, 5 - 7, 6 - 2) = (-7, -2, 4)

Теперь найдем скалярные произведения векторов AB и BC, BC и CD, CD и DA, DA и AB:

AB·BC = 4*7 + (-10)*2 + 1*(-8) = 28 - 20 - 8 = 0

BC·CD = 7*(-4) + 2*10 + (-8)*(-9) = -28 + 20 + 72 = 64

CD·DA = (-4)*(-7) + 10*(-2) + (-9)*4 = 28 - 20 - 36 = -28

DA·AB = (-7)*4 + (-2)*(-10) + 4*1 = -28 + 20 + 4 = -4

Таким образом, углы между сторонами четырехугольника ABCD не равны 90 градусов.

Исходя из полученных результатов, мы видим, что четырехугольник ABCD не является квадратом, так как не все стороны равны между собой и углы между сторонами не равны 90 градусов.