В прямоугольном треугольнике АВС ВС гипотенуза, С = 30°. На АС лежит точка Д так,

что ∠АВД = 30°. АД = 6. Найдите ДС

Запишем условие задачи по‑шагово:

1. Имеется прямоугольный треугольник ABC, в котором BC – гипотенуза. Это означает, что прямой угол находится при вершине A. Кроме того, угол C равен 30°; тогда угол B = 60° (так как сумма углов в треугольнике 180°).

2. Из известных соотношений в прямоугольном треугольнике с углами 30°–60°–90° стороны пропорциональны:
  сторона, противолежащая 30° (AB) = k,
  сторона, противолежащая 60° (AC) = √3·k,
  гипотенуза (BC) = 2k.

3. Выберем систему координат так, чтобы:
  A = (0, 0),
  поскольку A – прямой угол, положим AC вдоль оси Ox, а AB – вдоль оси Oy.
  Таким образом, C = (AC, 0) = (√3·k, 0) и B = (0, k).

4. По условию на сторону AC кладём точку D так, что ∠AВД = 30°. Обратите внимание, что запись угла ∠АВД означает угол с вершиной в B (буква В пишется как «В» в русском алфавите): то есть угол ABD = 30°.

5. Так как D принадлежит AC, то D = (x, 0), где 0 ≤ x ≤ √3·k.

6. Найдём x, используя угол ABD.
  Вычислим вектора из точки B:
  • BA = A – B = (0 – 0, 0 – k) = (0, –k),
  • BD = D – B = (x – 0, 0 – k) = (x, –k).

  Угол между векторами BA и BD определяется через скалярное произведение:
   cos(∠ABD) = (BA • BD) / (|BA|·|BD|).

  Вычисляем:
   BA • BD = (0)·(x) + (–k)·(–k) = k².
   |BA| = k, |BD| = √(x² + k²).

  Получаем:
   cos(∠ABD) = k / √(x² + k²).

  Так как ∠ABD = 30°, то cos 30° = √3/2:
   k/√(x² + k²) = √3/2  →  √(x² + k²) = 2k/√3.

  Возведём в квадрат:
   x² + k² = 4k²/3  →  x² = 4k²/3 – k² = (4k² – 3k²)/3 = k²/3,
   откуда x = k/√3 (выбираем положительный корень, так как x > 0).

7. Заметим, что отрезок AD – это расстояние от A = (0, 0) до D = (x, 0), то есть AD = x = k/√3. По условию AD = 6, значит:
  k/√3 = 6  →  k = 6√3.

8. Теперь найдём сторону AC:
  AC = √3·k = √3·(6√3) = 6·3 = 18.

9. Поскольку D лежит на AC, отрезок DC = AC – AD = 18 – 6 = 12.

Ответ: ДС = 12.