найти остаток от деления 65^43+54^32 на 7

Для нахождения остатка от деления выражения 65^43 + 54^32 на 7 воспользуемся свойствами сравнения по модулю.

1. Сначала вычислим 65 по модулю 7:
  65 mod 7 = 65 - 7×9 = 65 - 63 = 2.
Таким образом, 65^43 ≡ 2^43 (mod 7).

2. Аналогично, вычислим 54 по модулю 7:
  54 mod 7 = 54 - 7×7 = 54 - 49 = 5.
Таким образом, 54^32 ≡ 5^32 (mod 7).

3. Найдём остаток от деления 2^43 на 7.
Заметим, что 2^3 = 8 ≡ 1 (mod 7), следовательно период по модулю 7 равен 3.
  43 делим на 3: 43 = 3×14 + 1, значит 43 ≡ 1 (mod 3).
Таким образом, 2^43 ≡ 2^(1) = 2 (mod 7).

4. Теперь найдём остаток от деления 5^32 на 7.
Найдём период для 5 по модулю 7:
  5^1 = 5,
  5^2 = 25 ≡ 4 (mod 7),
  5^3 = 125 ≡ 6 (mod 7),
  5^4 = 5^3×5 ≡ 6×5 = 30 ≡ 2 (mod 7),
  5^5 ≡ 2×5 = 10 ≡ 3 (mod 7),
  5^6 = 3×5 = 15 ≡ 1 (mod 7).
Период равен 6.
  32 делим на 6: 32 = 6×5 + 2, значит 32 ≡ 2 (mod 6).
Таким образом, 5^32 ≡ 5^2 ≡ 25 ≡ 4 (mod 7).

5. Складываем оба остатка:
  2^43 + 5^32 ≡ 2 + 4 = 6 (mod 7).

Ответ: остаток от деления выражения на 7 равен 6.