allabech

Для нахождения остатка от деления выражения 65^43 + 54^32 на 7 воспользуемся свойствами сравнения по модулю. 1. Сначала вычислим 65 по модулю 7:   65 mod 7 = 65 - 7×9 = 65 - 63 = 2. Таким образом, 65^43 ≡ 2^43 (mod 7). 2. Аналогично, вычислим 54 по модулю 7:   54 mod 7 = 54 - 7×7 = 54 - 49 = 5. Таким образом, 54^32 ≡ 5^32 (mod 7). 3. Найдём остаток от деления 2^43 на 7. Заметим, что 2^3 = 8 ≡ 1 (mod 7), следовательно период по модулю 7 равен 3.   43 делим на 3: 43 = 3×14 + 1, значит 43 ≡ 1 (mod 3). Таким образом, 2^43 ≡ 2^(1) = 2 (mod 7). 4. Теперь найдём остаток от деления 5^32 на 7. Найдём период для 5 по модулю 7:   5^1 = 5,   5^2 = 25 ≡ 4 (mod 7),   5^3 = 125 ≡ 6 (mod 7),   5^4 = 5^3