Число 179 записали восемь раз подряд. Полученное 24-значное число умножили на 222. Сколько получилось?

Запишем пошагово решение.

1. Обозначим:
 – Исходное число, записанное восемь раз подряд, выглядит так:
  N = 179179179179179179179179.
 Заметим, что его можно представить в виде:
  N = 179 · (10^(3·7) + 10^(3·6) + … + 10^3 + 1),
 так как число 179 имеет 3 цифры, а при «склеивании» сдвиг происходит на 3 разряда.

2. Дальше умножаем N на 222:
  222·N = 222·179 · (10^(21) + 10^(18) + … + 10^3 + 1).

3. Найдём 222·179.
  222·179 = 222·(180 – 1) = 222·180 – 222 = 39960 – 222 = 39738.

 Таким образом,
  222·N = 39738 · (10^(21) + 10^(18) + … + 10^3 + 1).

4. Рассмотрим сумму степеней десятки:
  S = 10^(21) + 10^(18) + 10^(15) + 10^(12) + 10^(9) + 10^(6) + 10^3 + 1.
 Заметим, что её можно записать как сумму геометрической прогрессии:
  S = 1 + 10^3 + 10^6 + … + 10^(21),
 которая равна (10^(24) – 1)/(10^3 – 1) = (10^(24) – 1)/999.

 Таким образом, итоговый результат равен:
  R = 39738 · S = 39738 · (10^(24) – 1)/999.

5. Получим красивую запись результата в виде цифр. Для этого удобно перейти к представлению в «блоках» по 3 разряда. Для этого раскладываем число 39738 на две части:
  39738 = 39·1000 + 738.

 Тогда:
  R = (39·1000 + 738) · (1 + 10^3 + 10^6 + … + 10^(21)).

 Умножая, получаем, что множитель (1 + 10^3 + … + 10^(21)) «разбивает» число R на блоки длиной по 3 цифры (если считать справа). При этом:
  – Во младшем (нулевом) блоке получаем 738.
  – В блоках с 10^3, 10^6, …, 10^(21) суммарно появляется 738 из второго слагаемого и 39 (при сдвиге) из первого слагаемого. То есть в этих блоках сумма равна 738 + 39 = 777.

 Однако важно отметить, что при умножении первая часть (39·1000) даёт вклад с блоками, начиная с разряда 10^3 до 10^(24) (то есть восемь слагаемых, причем самый старший блок оказывается «неполным» и равен 39).

 Таким образом получаем:
  – Для блоков с номерами 1, 2, …, 7 (то есть 7 полных блоков по 3 цифры) сумма равна 777.
  – Младший блок (k = 0) равен 738.
  – Самый старший блок (k = 8) получается из слагаемого, умноженного на 10^(21): он равен 39.

 Запишем слитно, начиная с самого значимого разряда:
  Блок 8: 39
  Блоки 7,6,5,4,3,2,1: по 777 (каждый из них по 3 цифры)
  Блок 0: 738

6. Запишем ответ, «склеив» блоки:
 Результат = 39 777 777 777 777 777 777 777 738,
 то есть без пробелов:

  3977777777777777777777738.

Ответ: 3977777777777777777777738.

Таким образом, итоговое число после умножения равно 3977777777777777777777738.