Федорпомылпосудуипоставилчистыетарелкивстопки.Ниводнойстопкенеока-

залось более 12 тарелок, а всего тарелок было 235. Докажите, что найдутся 4 стопки,

в которых тарелок поровну (стопка не может быть пустой).

Мы рассматриваем разбиение числа 235 на целые слагаемые, каждое из которых от 1 до 12 (так как стопка не может быть пустой, а максимум в стопке – 12 тарелок).

Предположим для противоречия, что ни для какого числа тарелок в стопке не существует хотя бы 4 стопок, то есть для каждого k ∈ {1, 2, …, 12} количество стопок с ровно k тарелками не более 3.

При таком предположении общее число тарелок максимум равно сумме, когда для каждого k мы используем по 3 стопки:
  Макс. сумма = 3·1 + 3·2 + … + 3·12 = 3·(1 + 2 + … + 12).

Вычислим сумму чисел от 1 до 12:
  1 + 2 + … + 12 = (12·13)/2 = 78.
Тогда максимум получаем 3·78 = 234.

Но общее число тарелок дано равным 235, то есть
  235 > 234.

Это противоречие показывает, что наше предположение неверно. Значит, должна быть хотя бы одна величина k ∈ {1, 2, …, 12}, для которой имеется не менее 4 стопок, содержащих ровно k тарелок.

Таким образом, доказано, что обязательно найдутся 4 стопки, в которых тарелок поровну.