ronaldu

Обозначим для i = 1, 2, …, 12 число стопок, в которых ровно i тарелок, через n₁, n₂, …, n₁₂. Предположим, что в каждой группе не более трёх стопок, то есть, nᵢ ≤ 3 для каждого i. Тогда общее число тарелок можно оценить сверху так:   Общее число тарелок ≤ ∑₍i=1₎¹² i · 3 = 3·(1 + 2 + … + 12). Вычислим сумму первых 12 натуральных чисел:   1 + 2 + … + 12 = (12·13)⁄2 = 78. Получаем:   Общее число тарелок ≤ 3 · 78 = 234. Но по условию тарелок 235, что противоречит полученной оценке. Следовательно, наше предположение неверно, и хотя бы для одного числа i должно выполняться nᵢ ≥ 4, то есть найдутся 4 стопки, в которых тарелок ровно i. Таким образом, доказано, что при данных условиях существует

Мы рассматриваем разбиение числа 235 на целые слагаемые, каждое из которых от 1 до 12 (так как стопка не может быть пустой, а максимум в стопке – 12 тарелок). Предположим для противоречия, что ни для какого числа тарелок в стопке не существует хотя бы 4 стопок, то есть для каждого k ∈ {1, 2, …, 12} количество стопок с ровно k тарелками не более 3. При таком предположении общее число тарелок максимум равно сумме, когда для каждого k мы используем по 3 стопки:   Макс. сумма = 3·1 + 3·2 + … + 3·12 = 3·(1 + 2 + … + 12). Вычислим сумму чисел от 1 до 12:   1 + 2 + … + 12 = (12·13)/2 = 78. Тогда максимум получаем 3·78 = 234. Но общее число тарелок дано равным 235, то есть   235 > 234. Это прот