Федорпомылпосудуипоставилчистыетарелкивстопки.Ниводнойстопкенеока-

залось более 12 тарелок, а всего тарелок было 235. Докажите, что найдутся 4 стопки,

в которых тарелок поровну (стопка не может быть пустой).

Обозначим для i = 1, 2, …, 12 число стопок, в которых ровно i тарелок, через n₁, n₂, …, n₁₂. Предположим, что в каждой группе не более трёх стопок, то есть, nᵢ ≤ 3 для каждого i.

Тогда общее число тарелок можно оценить сверху так:
  Общее число тарелок ≤ ∑₍i=1₎¹² i · 3 = 3·(1 + 2 + … + 12).

Вычислим сумму первых 12 натуральных чисел:
  1 + 2 + … + 12 = (12·13)⁄2 = 78.

Получаем:
  Общее число тарелок ≤ 3 · 78 = 234.

Но по условию тарелок 235, что противоречит полученной оценке. Следовательно, наше предположение неверно, и хотя бы для одного числа i должно выполняться nᵢ ≥ 4, то есть найдутся 4 стопки, в которых тарелок ровно i.

Таким образом, доказано, что при данных условиях существует хотя бы 4 стопки, содержащие одинаковое (не нулевое) количество тарелок.