Внутри окружности, радиусом 5 отмечена точка Е,через которую проведены хорды AB и CD, перпендикулярно друг другу. Найдите расстояния от вершины F прямоугольника AECF до центра окружности O, если OE=1

Мы докажем, что расстояние от точки F до центра окружности O равно 7.

Ниже приведён один из способов решения.

Представим окружность с центром O (начнём с O = (0,0)) и радиусом R = 5. Пусть точка E внутри окружности удовлетворяет условию OE = 1. Для удобства выберем координаты так, чтобы E = (1, 0).

Выберем хорды, проходящие через E, перпендикулярные друг другу. Одну из них проведём по горизонтали (ось Ox), а вторую – по вертикали (ось Oy):
1. Горизонтальная прямая y = 0, проходящая через E, пересекает окружность x² + y² = 25 в точках A и B. Найдём точки:
  x² = 25 ⟹ x = ±5.
  Выберем A = (–5, 0) (и, соответственно, B = (5, 0)).
2. Вертикальная прямая x = 1, проходящая через E, пересекает окружность:
  1² + y² = 25 ⟹ y² = 24,  y = ±2√6.
  Обозначим верхнюю точку как C = (1, 2√6) (а нижнюю D = (1, –2√6)).

Теперь построим прямоугольник AECF, в котором три вершины заданы: A = (–5, 0), E = (1, 0) и C = (1, 2√6). Для прямоугольника F получается как «сумма векторов»:
  F = A + (C – E).
В координатах:
  C – E = (1 – 1, 2√6 – 0) = (0, 2√6),
  тогда F = (–5, 0) + (0, 2√6) = (–5, 2√6).

Найдем расстояние от F до центра O = (0, 0):
  OF = √[ (–5 – 0)² + (2√6 – 0)² ] = √(25 + 4·6) = √(25 + 24) = √49 = 7.

Таким образом, расстояние от вершины F до центра окружности O равно 7.