В прямоугольном треугольнике ABC(ZB = 90°). <ВАС = З0° АВ = 44 сМ

Найти расстояние от середины катета AB

до гипотенузы

Мы имеем прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Из условий дано, что ∠A = 30° и катет AB = 44 см. Требуется найти расстояние от середины катета AB до гипотенузы AC.

Для наглядности введём прямоугольную систему координат так, чтобы:
 • B = (0, 0);
 • AB лежал вдоль оси Ox, тогда A = (44, 0);
 • Так как угол при B = 90°, то другой катет BC можно принять по оси Oy: C = (0, y).

Определим y:
1. В треугольнике ABC с ∠A = 30° и прямым углом при B, угол С = 180° – 90° – 30° = 60°. При таком расположении сторона, противолежащая углу A (то есть BC), связана с катетом AB через тангенс:
  tan 30° = (BC)⁄(AB).
Но tan 30° = 1/√3, откуда
  BC = AB·(1/√3) = 44/√3.
Таким образом, можно принять C = (0, 44/√3).

2. Найдём координаты середины катета AB:
  M = ((0 + 44)/2, (0 + 0)/2) = (22, 0).

3. Найдем расстояние от M до прямой, содержащей гипотенузу AC (через точки A и C). Для этого запишем векторное представление:
  – Точка A = (44, 0).
  – Точка C = (0, 44/√3).
  Вектор AC = C – A = (0 – 44, 44/√3 – 0) = (–44, 44/√3).

Расстояние от точки P = M к прямой, проходящей через A с направляющим вектором d, находится по формуле:
  d = |(P – A) × d|⁄|d|
где «×» означает определитель (в двумерном случае – абсолютное значение псевдовекторного произведения).

Вычислим необходимые величины:
 a) P – A = M – A = (22 – 44, 0 – 0) = (–22, 0).
 b) Направляющий вектор d = AC = (–44, 44/√3).
 c) Определитель:
  |(P – A) × d| = |(–22)*(44/√3) – (0)*(–44)| = 22·44/√3 = (968)/√3
  (Заметим, что 22·44 = 968).
 d) Норма вектора d:
  |d| = √[ (–44)² + (44/√3)² ] = √[1936 + 1936/3]
      = √[1936·(1 + 1/3)] = √[1936·(4/3)]
      = 44·√(4/3) = 44·(2/√3) = 88/√3.

Теперь подставляем в формулу расстояния:
  d = (968/√3) / (88/√3) = 968/88 = 11.

Ответ: расстояние от середины катета AB до гипотенузы AC равно 11 см.