Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. С помощью циркуля и линейки проведите высоту АН к боковой стороне ВС.

Построим окружность с центром в вершине А с радиусом большим, чем расстояние от точки А до прямой ВС (черная окружность).
Эта окружность пересечет прямую ВС в двух точках (назовем их К и М).

Построим две окружности (на рисунке - синие) с центрами в точках К и М одинакового произвольного радиуса (большего половины отрезка КМ).

Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую. Точку пересечения этой прямой с прямой ВС обозначим Н.

АН - искомая высота.

Красная прямая всегда пройдет через точку А, потому что точка А равноудалена от концов отрезка КМ и, значит, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. А красная прямая - это и есть серединный перпендикуляр к отрезку КМ.