В комнате находятся 100 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт, причём все они разного роста. Каждый из находящихся в комнате сказал ровно одну из двух фраз: <<Хотя бы 10 лжецов ниже меня>>; <<Хотя бы 10 лжецов выше меня>>. Какое наименьшее число рыцарей может быть в комнате?

При наибольшем количестве лжецов будет наименьшее количество рыцарей.
Покажем, что лжецов не более 20.
Действительно, предположим, что лжецов хотя бы 21 и посмотрим, что сказал 11 по росту из лжецов.
Если он сказал "Хотя бы 10 лжецов выше меня", то он сказал правду (он 11 по росту, а значит ровно 10 лжецов выше, чем он), но правду он сказать не мог.
Если он сказал "Хотя бы 10 лжецов ниже меня", то он также бы сказал правду, так как по крайней мере 21-11=10 лжецов ниже, чем он.
Отсюда лжецов не более 20.

Покажем, что 20 лжецов может быть.

В случае, если 10 самых высоких - лжецы и 10 самых низких также лжецы, и при этом 10 самых высоких сказали "Хотя бы 10 лжецов выше меня", а 10 самых низких - "Хотя бы 10 лжецов ниже меня", то все соответствует условиям.
Очевидно, что 10 самых высоких лжецов солгали (вообще нет 10 человек из данных 100, которые были бы выше их, а тем более лжецов). Аналогично с самыми низкими лжецами.
80 рыцарей, которые являются оставшимися людьми, могут сказать что угодно. Всегда ровно 10 лжецов, которые выше, чем они и ровно 10 лжецов, которые ниже.

Ответ: 80 рыцарей.