СРОЧНО В гостинице «Гильберт» решили сделать уборку и у 470 подряд идущих комнат отполировали дверные номера. В результате почистили 2021 цифру. Какой был номер у комнаты, с которой начали уборку?

Ответ: 9671.
Пошаговое объяснение:
1) Предположим, что произвели уборку во всех комнатах с номерами с 1 по 9 (таких комнат 9), во всех комнатах с номерами с 10 по 99 (таких комнат 90) и в n комнатах с номерами от 100 и выше. По условию,
99+n=470
189+3*n=2021
Эта система не имеет решений. Значит, наименьший номер комнаты не может быть 1.
2) Рассуждая аналогично, убеждаемся, что среди убранных комнат нет комнат ни с однозначными, ни с двузначными номерами. А так как 470*3=1410≠2021, то убранные комнаты не могут все сразу иметь и трёхзначную нумерацию.
3) Допустим, что среди убранных комнат m комнат имеют 3-значную нумерацию и n комнат - 4-х -значную нумерацию. Отсюда следует система:
m+n=470
3*m+4*n=2021
Эта система имеет решение m=-141 и n=611, но так как m и n - натуральные числа, то это решение не годится. Значит, среди убранных комнат нет комнат с трёхзначной нумерацией.
4) Допустим, что все комнаты имеют 4-значную нумерацию. Отсюда следует система:
n=470
4*n=2021
Эта система не имеет решений - следовательно, наше предположение невозможно.
5) Допустим, что среди убранных комнат m комнат имеют 4-значную нумерацию и n комнат - 5-значную нумерацию. Отсюда следует система:
m+n=470
4*m+5*n=2021
Эта система имеет натуральные решения m=329 и n=141. При этом так как наименьший 5-значный номер равен 10000, то наименьший номер комнаты равен 10000-329=9671.